因数分解の質問をさせて頂きます。

x²+xy-2y²+2x+7y-3を因数分解する問題で、本には、x,yそれぞれ2次式であり、かつプラスで出来るだけ係数の小さい文字に着目し、その文字について整理するという説明がありますが、
本には、その整理した式が
x²+（y+2）x-2y²+7y-3となっており、説明について、
x²+（y+2）xこれで2次式　-2y²+7y-3で2次式と2次式の組み合わせということです。
そこで、疑問に思ったことなのですが、x²+（y+2）xはx²もxという共通因数があるため、（x+y+2）xにならないのかという疑問です。
些細な疑問ですが、教えて頂けたら幸いです。
宜しくお願い致します。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/20 16:39

(x+y+2)xにはなるけれども因数分解はできません

x²+xy-2y²+2x+7y-3
=x²+(y+2)x-2y²+7y-3
=x²+(y+2)x+(2y-1)(-y+3)
=x²+(2y-1-y+3)x+(2y-1)(-y+3)
=x²+(2y-1)x+x(-y+3)+(2y-1)(-y+3)
=(x+2y-1)x+(x+2y-1)(-y+3)
=(x+2y-1)(x-y+3)

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/20 14:18

＞ x²+（y+2）x は x² も x という共通因数があるため、

＞ （x+y+2）x にならないのかという疑問です。

なりますよ。そのため、
x²+xy-2y²+2x+7y-3 = (x+y+2)x + (-2y²+7y-3)
　　　　　　　　　= (x+y+2)x - (2y-1)(y-3)　となります。
ただし、これでは因数分解できたことにはなりませんよね。
(x+y+2)x と (2y-1)(y-3) から共通因数を括りだすこともできないし。
もちろん、x²+xy-2y²+2x+7y-3 = (x+y+2)x にはなりません。

だから、別の方向で考えて、
x²+xy-2y²+2x+7y-3 = x² + (y+2)x - (2y-1)(y-3)
を x の二次式として因数分解してみるわけです。
そっちは、うまくいくようですね。

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2023/11/20 14:11

x^2 +(y+2)x=(x+y+2)x ......................(1)

は正しくても　因数分解とは何か？
どういうことをするのか　ということに関しての理解が全然
ない　ということ！　因数分解を暗記しているからかな？と思います。
理解していれば (1) が　なんの意味をなさないことがわかるはずなのだが！
もうすこし具体的に言えば　　
　<係数の小さい文字に着目し、その文字について整理すると>　とは
一時的に　x　を変数と考え　y を変数でないと考えるという意味ですね！
ですから　その意味においては　貴方のやり方は　意味をなさないわけです。

No.2 回答者： AっKI 回答日時： 2023/11/20 11:23

確かにあなたの言う通り。

それ自体は間違いではありません。

しかし、ここでの目的は「因数分解」のはずです。
あなたのやり方でくくってしまうと
因数分解のための次の作業ができない。
xについて整理するなら
xについての2次の項
xについての1次の項
定数項
に分けて、因数分解の次の段階に入るのです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/11/20 08:38

＞そこで、疑問に思ったことなのですが、x²+（y+2）xはx²もxという共通因数があるため、（x+y+2）xにならないのかという疑問です。

何をやっているのか、その仕組みが分かっていないようですね。

要するに
「変数が２つある（x, y) ままだと因数分解が面倒なので、一方を変数、他方を『定数』とみなして因数分解してみる」
ということです。
そういうことなので、「変数」が「定数」の中に入り込んではいけません。その２つをきっぱり分けないといけません。

x² + (y+2)x - 2y² + 7y - 3

とは
　x² + ax + b
で
　a = y+2
　b = -2y² + 7y - 3
ということです。

定数なら
　a = -5
　b = 6
のとき、たすき掛けで
　(x - 2)(x - 3)
に因数分解できますよね。
これと同じで、
・足して (y + 2)
・かけて (-2y² + 7y - 3)
になるものを探すということです。

結果は
　-2y² + 7y - 3 = -(2y² - 7y + 3) = -(2y - 1)(y - 3)
で
　(2y - 1) - (y - 3) = y + 2
になるので
　(2y - 1) と -(y - 3)
ということです。