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画像の問題の解説のところで。

「(xy)^2が無理数である」⇒「xまたはyが無理数」

が真。

と、書いてますが。
ここが、ピンとこないです。

x, yの具体的な値が
どんなイメージかとか。

なにより、知りたいのが、
なぜ、これが、反例なく。
真。となるか。
理由を教えてほしいです。。

どうしても、イメージできなくて。
説明しずらい事柄で、
問題集も、説明を避けたかもしれません。
空間図形とかもそうですが。
説明しずらい概念を
わかるというのが、
私、あまり得意でなく。
「わかるでしょ」というふうに、
説明なしで、はしょられると。
??になってしまうです。

よろしくお願いいたします。

「画像の問題の解説のところで。 「(xy)」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 画像が見えないので。
    拡大画像に分けます

    「画像の問題の解説のところで。 「(xy)」の補足画像1
      補足日時:2018/06/16 18:45
  • もう一枚、拡大画像。

    わからないのは、
    これの、
    前半の

    真。

    となる部分について。
    反例なしの根拠です。

    そもそも、具体的なイメージできず。
    どうして、いきなり。
    これが、真といいきれるか。
    ピンとこない。

    「画像の問題の解説のところで。 「(xy)」の補足画像2
      補足日時:2018/06/16 18:47
  • xが有理数、かつ、yが有理数



    (xy)^2が有理数


    というふうに、対偶で考えると

    真である

    (有理数どうしは、四則演算しても、有理数という話を知ってるから)

    と、考えると。

    真。と、思えますが。

    それでも、なんか、対偶をつかわない元のものが、

    反例なし、というのが、
    ぜんぜん、イメージできない。

      補足日時:2018/06/16 18:53
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A 回答 (7件)

P: ((xy)^2は無理数である) ならば ((実数xは無理数である)かまたは(実数yは無理数である))



という命題Pについて、反例が(ひとつでも)あったとしましょう。すると、その反例とはふたつの実数X,Yのことであって、X,Yは

  Q: ((XY)^2は無理数である) かつ ((実数Xは無理数でない)かつ(実数Yは無理数でない))

という性質を持つ、ということです。
 念のため確認しておきますと、
 Qを満たす実数X,Yとは、(それらがどんな実数であれ)
   (XY)^2は無理数である
   (実数Xは無理数でない)かつ(実数Yは無理数でない)
  の2つの性質をいっぺんに満たさなくちゃいけない

ということを意味している。これはお分かりですかね?そして、

   (実数Xは無理数でない)かつ(実数Yは無理数でない)

とは

    数Xは無理数でない
    実数Yは無理数でない
  の両方をいっぺんに満たさなくちゃいけない

ということなので、まとめると、

  Qを満たす実数X,Yとは、(それらがどんな実数であれ)
   (XY)^2は無理数である
   数Xは無理数でない
   実数Yは無理数でない
  という3つの性質をいっぺんに満たさなくちゃいけない。

 さて、

 「無理数」とは「有理数ではない実数」のこと

です。なので、Qの文言のうちの「実数Xは無理数でない」の「無理数」という部分を言い換えれば「Xは(有理数ではない実数)でない」となり、これはすなわち「実数Xは有理数である」と言い換えられる。同様に「実数Yは無理数でない」の部分も言い換えると、

 Qを満たす実数X,Yとは、(それらがどんな実数であれ)
  (XY)^2は有理数でない
  実数Xは有理数である
  実数Yは有理数である
 という3つの性質をいっぺんに満たさなくちゃいけない。

ということです。

 ところで、

  「有理数」というのは「分子と分母((分母≠0)がどっちも整数であるような分数で表せる実数」のこと

です。そしてQによればXもYも有理数なのですから

  X = a/b となる整数a,bがあって、しかもb≠0である。
  Y = c/d となる整数c,dがあって、しかもd≠0である。

すると、(XY)^2を分数で表したものは整数の計算を使って

  (XY)^2 = ((a/b)(c/d))^2 = ((ac)/(bd))^2 = ((ac)^2)/((bd)^2)

であると分かります。このとき、(ac)^2も(bd)^2も整数であり、しかも (bd)^2≠0 です。だから、

  (XY)^2は「分子と分母((分母≠0)がどっちも整数であるような分数で表せる実数」である。

つまり

  (XY)^2 は有理数である。

ということが分かった。XとYが何であろうとも、XとYがどっちも有理数でありさえすれば、(XY)^2 は有理数だ、ということです。

 以上から、どんな実数X,Yであれ、それらが
  実数Xは有理数である
  実数Yは有理数である
を両方満たしさえすれば
  (XY)^2は有理数でない
は偽である。

 なので、Qを満たす実数X,Yは存在しない。つまり、Pの反例となるX,Yは存在しない、と分かった。

…ちうことなのです。
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「(xy)^2が無理数である」⇒「xまたはyが無理数」


が真。と、書いてますが。ここが、ピンとこないです。>
証明は簡単です。
「(xy)^2が無理数である」⇒「xyが無理数である」⇒「xまたはyが無理数」
と考えればよい。さらに第一段ではxy=aと書けば
「a×aが無理数である」⇒「aが無理数である」
です。a×aは無理数×無理数=(どちらか?)と有理数×有理数=有理数の二通りしかないから、a×aが無理数なら、aは無理数である。
第二段は説明不要と思います。
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x、yがにn乗根だと思いましょう。

(n>2)
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度々すみません。

n3の
有理数x無理数=無理数・・・①
となるのは0以外の有理数の場合です!!
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補足画像を見忘れていました。


画像は
(xy)^2が無理数

有理数x無理数=無理数・・・①
無理数x無理数=無理数・・・②
無理数x無理数=有理数・・・③
有理数x有理数=有理数・・・④
だから(xy)*(xy)が無理数という事はパターン②であることになる

xyは無理数

xyは無理数ならパターン①or②であることになる

xまたはyが無理数
という論法ですね!
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
対偶をつかわない方向として。
イメージできました。

厳密かとか。そういうのんは、わからないですが。。

ぱっと見のイメージだけでも、
つけられると、とても、助かります。

補足で、対偶なら、わかるんですが。。と、書いたのは。
自分も、対偶でやれば!
と、気づくのに時間がかかりました。しかも、解答みて、
真である。と、解説をみて。
どうして、真なの?

と。。真であることを前提に、
考えて。。
そして、対偶なら、真だと。
わかるな。と、気がついただけで。。

でも、初見で問題見たときには。
気づかなかった。。

なぜか。

それは、真かどうかも、わからず。対偶とか発想でなかった。

なので。

厳密かどうかより。

今回、回答頂いたように、
イメージで。
真かな。と、気づけるような
話もらえるととても、助かるです。

お礼日時:2018/06/17 11:11

命題が真という事は、当然反例は存在しません。

存在しないということ言い切るのは結構大変なもの。
そこで、対偶以外で審議を調べるなら背理法という手も

(xy)^2が無理数であって「xが有理数でかつyが有理数」となるものがある、と仮定すると
xyは有理数で(xy)^2も有理数
これは(xy)^2が無理数であることに矛盾
矛盾の原因は
(xy)^2が無理数であって「xが有理数でかつyが有理数」となるものがある、と仮定したことにある。
(仮定が誤り)
従って「(xy)^2が無理数である」⇒「xまたはyが無理数」
が真。
というように・・・
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x, yの具体的な値


>>>例えばx=1+√2 y=1

(xy)^2が無理数である」⇒「xまたはyが無理数」
が分かりずらければ、
対偶を調べて見る方法も

この命題の対偶
「xが無理数でく、かつyも無理数でない」ならば「(xy)^2が無理数でない」これなら簡単に真と分かり
元の命題も対偶と同じく真と言えます^-^
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