X＋y＝√5 ，xy＝1のときの次の式の値を求めよ。 1） x2＋y2 2) 1／x ＋ 1／

Question

X＋y＝√5 ，xy＝1のときの次の式の値を求めよ。

1） x2＋y2

2)  1／x ＋ 1／y

3）x3 ＋y3

お時間ございましたら
解き方教えて下さい(_ _)

むらさめ · Accepted Answer

1） x^2＋y^2
=x^2+2xy+y^2-2xy
=(x+y)^2-2xy
=(√5)^2-2×1
=5-2=3

2) 1／x ＋ 1／y
=y/xy+x/xy=y+x=√5

3)x^3+y^3
=(x+y)(x^2–xy+y^2)　←　この変形は公式？をそのまま使う
2つ目の()内は1)の値を使う
=√5(3-1)=2√5

ORUKA1951 · Answer

解けないです。どんな大数学者でも
X＋y＝√5
Xは、どこにも出てこない。X = 2x とかの条件ないと。
　数学は、あいまいな自然言語を厳格な数式という言語に翻訳してから始まる。

まあ、次回からは注意するとして
x + y = √5、xy = 1 が与えられているので、
それぞれの式をこの二つだけが含まれるようにすればよい。
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣＊
1) x² + y²　　どこかで見たような？？(x ＋ y)² = x² + 2xy + y²　だったな？？
　x² + 2xy + y² - 2xy = (x + y)² - 2xy
　　　￣￣余計　￣￣￣引けばよい

2) 1/x + 1/y とりあえず、xyをかけてみよう
　(1/x + 1/y)xy  = xy/x + xy/y = y + x　　よって
　1/x + 1/y 
　= (1/x + 1/y)xy × 1/xy
　= (x + y)/xy

3) x³ + y³ どこかで見たな？？でも、とりあえず割ってみよう。(公式使わない)
　小学校の割り算を使って
　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿
(x + y)　) x³ 　　+ 　　y³

＿＿x²＿＿＿＿＿＿＿
(x + y)　) x³ 　　+ 　　y³
　　　　＿x³＿+xy＿＿＿＿＿＿
　　　　　　　-xy　+　y³

＿＿x²＿-xy＿＿＿＿＿
(x + y)　) x³ 　　+ 　　y³
　　　　＿x³＿+x²y＿＿＿＿＿＿
　　　　　　　-x²y　+　y³
　　　　　＿＿-x²y -xy²＿＿＿＿
　　　　　　　　　　xy² + y³

＿＿x²＿-xy＿+y²＿＿＿＿
(x + y)　) x³ 　　+ 　　y³
　　　　＿x³＿+x²y＿＿＿＿＿＿
　　　　　　　-x²y　+　y³
　　　　　＿＿-x²y -xy²＿＿＿＿
　　　　　　　　　　xy² + y³
　　　　　　　＿＿＿xy² + y³＿＿
　　　　　　　　　　　　　0　　　割り切れた

よって、x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)
　あとは(1) ど同様に　x² - xy + y²　を(x + y)とxyで表せばよい

★いちいち公式・解き方を覚えるのではなく
それぞれの式をこの二つだけが含まれるようにすればよい。
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣＊
と道筋を立てることが重要。あとは、これまで学んだ知識で解ける問題なのだからね。

北のトラさん · Answer

X＋y＝√5 ，xy＝1のときの次の式の値を求めよ。

1） x2＋y2=(x+y)^2－２ｘｙ　と置き換えます。　（ｘ＋ｙ）^2＝ｘ^2＋２ｘｙ＋ｙ^2　　からの変形です。＋２ｘｙを移項。

よって　ｘ^2＋ｙ^2＝（√５）^2－２✕（１）＝５－２＝３　　となります。

2) 1／x ＋ 1／y　　分数の計算ですから通分しましょう、１／ｘ＝ｙ／ｘｙ　　　１／ｙ＝ｘ／ｘｙ　として

1／x ＋ 1／y＝ｙ／ｘｙ＋ｘ／ｘｙ＝（ｘ＋ｙ）／ｘｙ　　よって　√5／１＝√5

3）x^３ ＋y^３ ＝（ｘ＋ｙ）（ｘ^2－ｘｙ＋ｙ^2）＝（ｘ＋ｙ）（ｘ^2＋ｙ^2－ｘｙ）　と並べ替えて代入すると
　
　　√5（３－１）＝２√5　　　　※1）より　ｘ^2＋ｙ^2＝３

参考までに。

X＋y＝√5 ，xy＝1のときの次の式の値を求めよ。 1） x2＋y2 2) 1／x ＋ 1／

1） x^2＋y^2

解けないです。

X＋y＝√5 ，xy＝1のときの次の式の値を求めよ。

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