因数分解の問題で教えてください。 6(x-y)²＋5x(x-y)-4x²＝(7x-3y)(x-2y)

因数分解の問題で教えてください。
6(x-y)²＋5x(x-y)-4x²＝(7x-3y)(x-2y)

どんなふうに解くのでしょうか?
どの使用する公式なども含めて、
できるだけ詳しく教えていただけると助かります。よろしくお願いいたします。

No.7 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2023/10/26 13:09

=7x^2 -17xy +6y^2

たすき掛けを使わずに
=7x^2 -14xy -3xy +6y^2
=7x(x-2y)-3y(x-2y)
=(7x-3y)(x-2y)
と　2項分解法でも可能！

この回答へのお礼

みなさんありがとうございます。
どれもとても分かりやすく勉強になりました。たすきがけを使わな方法。。。私には、一番あっていると思いベストアンサーに選ばせて頂きます。

お礼日時：2023/10/26 23:35

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/26 16:14

6(x-y)²＋5x(x-y)-4x²

={3(x-y)+4x}{2(x-y)-x}
=(3x-3y+4x)(2x-2y-x)
=(7x-3y)(x-2y)

No.9 回答者： sc348253 回答日時： 2023/10/26 15:39

x-y=z とおけば x=z+y だから

f(x,y)=6z^2 +5xz - 4x^2=6z^2 +5(z+y)z - 4(z+y)^2
=(6+5-4)z^2 +(5-8)zy -4y^2=7z^2 -3zy -4y^2
=7z^2 -(7-4)zy -4y^2 =7z(z-y)+4y(z-y)=(7z+4y)(z-y)
={7(x-y)+4y}{(x-y)-y}=(7z-3y)(x-2y)

No.8 回答者： kairou 回答日時： 2023/10/26 14:38

先ず 全部を展開して 整理してみてください。

「どの使用する公式」はそれを見て 判断することになります。
6(x-y)²+5x(x-y)-4x²=6x²-12xy+6y²+5x²-5xy-4x²
=7x²-17xy+6y² 。
x² の係数 7 は 1x7 しかありません。
y² の係数 6 は xy の係数が -14 ですから (-1)x(-6) 又は (-2)x(-3) 。
たすき掛けで考えると (7x-3y)(x-2y) と言う事がわかります。

勿論 「平方完成」又は「解の公式」と云いう公式でも 答えが出ますが、
計算が 複雑になりますね。

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2023/10/26 12:57

6(x-y)²＋5x(x-y)-4x²=f(x,y)とおけば

ここで　一番かっこの中を消せそうなのは　x=2y なので
f(2y,y)=
=6(2y-y)^2 +5・2y(2y-y)-4(2y)^2
=6y^2 +10y^2 -4・4y^2
=0 より　
因数定理から　x-2y という因数があるので
f(x,y)=(x-2y)(7x-3y)　 .......................... Ans　　
余談ですが　分解して答えを出すのではなく
(x-2y)(?x +??y)として　x^2 と　y^2 の係数比較すれば
?=6+5-4=7
??=6/(-2)=-3 なので
(?x +??y)=(7x-3y) と予測でき
xy項は　6・(-2)-5=-17 ,(-2)・７＋１・(-3)=-14-3=-17 でOK
と暗算も可能と思います。

x-y=z とおけば
f(x,y)=6z^2 +5xz - 4x^2
たすき掛けで
　　　=(3z+4x)(2z-x)
={3(x-y)+4x}{2(x-y)-x}
=(7x-3y)(x-2y)

直接分解してもいいでしょうし
f(x,y)=(6+5-4)x^2 +( - 2・6-5)xy +6 y^2
=7x^2 -17xy +6y^2
たすき掛けで
7..... -3
1..... -2
　　　=(7x-3y)(x-2y)

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/26 10:47

x-y =a, x = b と置くと

6a^2 + 5ab - 4b^2

この形はたすきを駆使して
6 = 2・3
-4 = (-1)・4
5 = 2・4 + 3・(-1)
を頑張って見つけて

= (2a-b)(3a+4b)

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2023/10/26 10:39

回答を一部訂正。

正しくは

a=2 b=-x c=3 d=4x

です。書き間違えました。すみません。

(なおその後の計算結果は正しいものでした)

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2023/10/26 10:27

まず「この問題はどの公式を使えば解けるのか」と言う発想自体が根本的に間違っていると思います。

基本的には問題を見た瞬間に「この問題はこの公式を使って答えを出す」と言う事が最初から分かるわけではありません。うまく行きそうだと思う方法をいろいろ試してみて解答を探り当てると言うのが現実です。早い話、プロの数学者が解く問題の場合は「この公式で解ける」なんて全く分かりません。誰も解いた事のない問題なんですから。

そこで質問文の問題を見た場合、まず思い付くのは1項目と2項目に共通のx-yでくくり出す事だと思うので取りあえずやってみると

(x-y){6(x-y)-5x}-4x^2

=(x-y)(x-6y)-4x^2

うん、なんかこれ以上は無理そうですね。

そこで今度は2項目と３項目に共通の-xでくくり出してみると

6(x-y)^2-{5(x-y)-4x}

=6(x-y)^2-x(x-5y)

うん、なんかこちらもこれ以上は進められそうにないですね。

そこで質問文の式をよく見てみると、x-yを一つの文字式Aとして考えると

6A^2+5Ax-4x^2

と言う形になる事が見えて来ます。そうすると二次式の一般的な因数分解の公式

acx^2+(bc+ad)x+bd

=(ax+b)(cx+d)

が使えそうな事が予想できます。そこでいろいろ試してみると

a=2 b=-x c=3x d=4

でうまく当てはまる事が分かります(試したプロセスは割愛)。そこでこれを当てはめてみると

=(2A-x)(3A+4x)

Aに元のx-yを代入すると

{2(x-y)-x}{3(x-y)+4x}

=(x-2y)(7x-3y)

なお慣れれば「x-yについての二次式だな」と言う事が最初から分かるようになって来るので、3番目に試した方法を最初から取れるようになります。

No.2 回答者： AっKI 回答日時： 2023/10/26 09:07

やることは「たすきがけ」

それを勉強すること。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/26 06:01

6(x-y)²＋5x(x-y)-4x²＝7x²+6y²-17xy

ここで、x,y,定数の項がないから、分解できれば ax+byの積
　(ax+by)(a'x+b'y)
となる。

ここで、係数は整数とすれは　7x²から、
　aa'=7 → a=7,a'=1
となり
　(7x+by)(x+b'y)=7x²+bb'y²+(7b'+b)xy
となる。

つぎに
　bb'=6
だから
　(-6,-1), (-2,-3)
のいずれかとなる。係数が負なのは、xyの係数が負で、y²の係
数が正だから。

　7b'+b=-17・・・・①
であるが、(-6,-1)では満たさない。

残りで、b'=-2, b=-3 のとき①を満たすから
　(7x-3y)(x-2y)
となる。