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2変数多項式環R[x,y]のイデアル(x^2,xy)は素イデアルではない
これはどのように示したらよいのでしょうか
よろしくお願いします

A 回答 (4件)

環の部分集合 { x^2, xy } が生成するイデアルは


質問文中のように (x^2,xy) と表記するのが通常だが、
以下の説明では、計算式の小括弧と紛らわしいので
<x^2,xy> と書くことにする。標準的でないのは御免なさい。

イデアル計算にある程度慣れている人なら、今回の質問は
<x,2,xy> = <x^2> + <xy>
    = <x><x> + <x><y>
    = <x> ( <x> + <y> )
    = <x><x,y>
だけで済んでしまう話かもしれない。しかし、この例題は
出題意図として、イデアルにあまり慣れていない人向けの練習問題
という性格が強いと考えて、定義に即して素朴にやってみる。

話題に登場する各イデアルは、
<x^2,xy> = { (x^2)f+(xy)g | f,g∈R[x,y] },
<x> = { xu | u∈R[x,y] },
<x,y> = { xv+yw | v,w∈R[x,y] }
と書ける。

イデアル積 <x^2><x,y> の元 a は
<x> の元と <x,y> の元の R[x,y] における積の有限和であり、
a = ∑(x u_i)(x v_i + y w_i),
∑ は i に関する総和, u_i, v_i, w_i ∈ R[x,y]
と書ける。この式を変形すると
a = (x^2)∑(u_i)(v_i) + (xy)∑(u_i)(w_i),
∑(u_i)(v_i), ∑(u_i)(w_i) ∈ R[x,y]
とも書けるので、a ∈ <x^2,xy> である。
すなわち <x^2><xy> ⊆ <x^2,xy>.

一方、<x^2,xy> の元 a は a = (x^2)f + (xy)g, f,g ∈ R[x,y]
と書ける。a = (x)(xf+yg) と変形できるので、
x ∈ <x>, xf+yg ∈ <x,y> より a ∈ <x><x,y> である。
すなわち <x^2><xy> ⊇ <x^2,xy>.

以上より結局、<x^2><xy> = <x^2,xy> が成り立つ。
<x^2,xy> は、イデアルの積に分解できるので、素イデアルではない。
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この回答へのお礼

詳しいご説明本当にありがとうございます
やっとわかりました

お礼日時:2024/04/01 20:31

はは、失敬失敬。


No.2 は書き間違いがあったね。
前半を見てくれれば意図は判ると思うのだけれど...

---------------------------------------------------------------------
a = (x^2)∑(u_i)(v_i) + (xy)∑(u_i)(w_i),
∑(u_i)(v_i), ∑(u_i)(w_i) ∈ R[x,y]
とも書けるので、a ∈ <x^2,xy> である。
すなわち <x><x,y> ⊆ <x^2,xy>.

a = (x)(xf+yg) と変形できるので、
x ∈ <x>, xf+yg ∈ <x,y> より a ∈ <x><x,y> である。
すなわち <x><x,y> ⊇ <x^2,xy>.

以上より結局、<x><x,y> = <x^2,xy> が成り立つ。
---------------------------------------------------------------------

に訂正。
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この回答へのお礼

よくわかりました
色々ご丁寧説明頂き
有り難うございます

お礼日時:2024/04/01 20:30

こういった丸投げ質問は好ましくなく, R に関する説明も無い.


それゆえ, 回答するのは不本意だが, <x^2,xy> は素イデアルでなく, 準素イデアルですらない.

>これはどのように示したらよいのでしょうか
難しく考えるな.
普通に <x^2,xy> が素イデアルの定義を満たしていないことを示せばいい.

ちなみに, <x^2><xy> = <x^2,xy> は成り立たない.
例えば, x^2 ∈ <x^2,xy> は正しいが, x^2 ∈ <x^2><xy> は正しくない.
読んでいて腹が立つ内容だが, 一つだけ有益情報を提供している.
多項式環を学ぶとき, 今回のイデアルは (x^2,xy) と書くよりも, <x^2,xy> と書くほうがいい.
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この回答へのお礼

有り難うございます

お礼日時:2024/04/01 20:32

x∈R[x,y]-(x^2,xy)はイデアル(x^2,xy)の要素ではない


y∈R[x,y]-(x^2,xy)はイデアル(x^2,xy)の要素ではない
xy∈(x^2,xy)はイデアル(x^2,xy)の要素である
から
イデアル(x^2,xy)は素イデアルではない
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この回答へのお礼

分かりませんがありがとうございます

お礼日時:2024/04/01 20:32

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