写真の黄線部についてですが、黄線部は(i)をイプシロンデルタ論法を用いてで表していると思うのですが、なぜ、εとδ‘を用いて良いのでしょうか?
青線部の仮定によれば、(i)をイプシロンデルタ論法を用いて表すならε0とδで表すべきではないのでしょうか?解説おねがいします。
写真: https://d.kuku.lu/5b2ghwd5u
A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
例えば
ε0>0
δ0>0
a=2(1+ε0)/δ0
f(x)=ax
c=0
f(0)=0=A
とすると
任意のε>0に対して
δ=ε/a が存在して
|x-c|=|x|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-A|=|f(x)-f(c)|=|ax-ac|=a|x-c|<aδ=ε
だから
0<ε<ε0
となる任意のεに対して
δ=ε/a が存在して
|x-c|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-A|<ε
となるけれども
x=δ0/2
のとき
|x-c|=|x|=δ0/2<δ0
|f(x)-A|=|ax|=1+ε0>ε0
だから
|x-c|<δ0
かつ
|f(x)-A|>ε0
となるようなxが存在するから
|x-c|<δ0→|f(x)-A|<ε0が成り立たないから
与えられたδ0で表すことはできない
δ0としてはいけません
(i)fはcで極限Aをもつ
から
任意のε>0に対して
あるδ(ε)>0が存在して|x-c|<δ(ε)となる任意のxに対し|f(x)-A|<ε
が成り立つのだから
(δ0ではなく)
(ε>0に関係して存在する)
δ(ε)
を使わなければいけません
回答ありがとうございます。
仮定のa=2(1+ε0)/δ0という式についてですが、a=2(1+ε)/δと仮定した場合、δやεについても成り立たなくなってしまいませんか?
No.3
- 回答日時:
f(x)=3x
c=0
f(0)=0=A
ε0=1
δ0=1
とすると
任意のε>0に対して
δ=ε/3 が存在して
|x-c|=|x|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-A|=|f(x)-f(c)|=|3x-3c|=3|x-c|<3δ=ε
だから
0<ε<ε0=1
となる任意のεに対して
δ=ε/3 が存在して
|x-c|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-A|<ε
となるけれども
x=1/2
のとき
|x-c|=|x|=1/2<1=δ0
|f(x)-A|=|3x|=3/2>1=ε0
|x-c|<δ0
かつ
|f(x)-A|>ε0
となるようなxが存在するから
|x-c|<δ0→|f(x)-A|<ε0が成り立たないから
δ0であらわすことはできない
No.2
- 回答日時:
fはcで極限Aをもつ
から
任意のε>0に対してあるδ>0が存在して|x-c|<δとなる任意のxに対し|f(x)-A|<ε
の
ε
は
任意の正の数でなければなりません
だから
正であれば
どんな数でもよいのです
だから
ε0ではなく
0<ε<ε0
となる
ε
としてもよいのです
δはそのεに対して存在するものでなければなりません
(δ0はεを決める前に与えられた変数であって)
δ0はεに対して存在するものではないので
δ0としてはいけません
0<ε<ε0
となる
ε
に対して
あるδ'>0が存在して
|x-c|<δ'となる任意のxに対し|f(x)-A|<ε
δ=min{δ',δ0}とおくと
|x-c|<δとなる任意のxに対して
|x-c|<δ≦δ'
だから
|f(x)-A|<ε
だから
|x-c|<δ≦δ0→|f(x)-A|<ε
No.1
- 回答日時:
ここだけだと「f は c で極限 A をもつ」の定義がわからんからそもそも ε0 や δ0 がなんのためにあるのかわからんのだけど....
なんというか, どうしてそのように思ったのかがわからんなぁ.
どうして ε と δ' を使って表してはいけないと感じたのか? どうして「(i)をイプシロンデルタ論法を用いて表すならε0とδ0で表すべきだ」と思ったのか?
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