行列式を帰納てきに求めるにあたって、 このBの行列って小さいnでどうなりますか？ 例えば 一次の時a

行列式を帰納てきに求めるにあたって、
このBの行列って小さいnでどうなりますか？
例えば
一次の時a1
になると思います。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/08 05:37

-a1

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/08 11:03

一次の時-a1

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/08 09:07

第1列で余因子展開するなら、

第n行1列に関する係数 (-1)^(n+1) が掛かって
｜B｜ = 0 + ... + 0 + (-1)^(n+1)・(-a1)・｜E｜
　　= (a1)(-1)^n
だよ。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/07 18:04

= (-1)×1×

| 0 1|
| -a1 -a2|

訂正
= (-1)×1×
| 0 1|
| -a1 -a3|

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます

お礼日時：2024/06/07 18:33

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/07 16:35

n=3では

| 0 1 0 |
| 0 0 1 |
| -a1 -a2 -a3 |

一行目で余因子展開すると
= (-1)×1×
| 0 1|
| -a1 -a2|
一行目で余因子展開すると
= (-1)×1×(-1)×1×(-a1)=(-1)^3×a1

一般化すると
(-1)^n×a1


n=1では det([-a1])= -a1

この回答へのお礼

a3ですか？？

お礼日時：2024/06/07 17:27

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/07 15:02

帰納的に？

B の行列式を第1行で余因子展開すると、
第1行2列成分に対する余因子が
1次少ない B と同様な形の行列式になる。
余因子展開で第1行2列成分に掛かる係数が -1 だから、
｜B｜ = (-1)^(n-1) ・ (-a1)
　　= (a1)(-1)^n.
1次のときは、a1 じゃなく -a1 だね。

でも、帰納的計算は必要でもなくて...
第k列と第k+1列を交換することを
k=1,2,3,...,n-1 の順で行うと、
B は下三角行列に変形されて、
その対角成分は右下端が -a1,
それ以外は 1 になっている。
変形後の行列の行列式は -a1 だが、
列の交換によって
もとの ｜B｜ の (-1)^(n-1) 倍になっているから、
｜B｜ = (a1)(-1)^n.

この回答へのお礼

お礼日時：2024/06/07 17:26