千葉大学 整数問題 これまた難問 誰か解ける方はいますか 何卒宜しくお願い致します。

p² = x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²) より
x + y 、 x² - xy + y² の組み合わせ候補は
p 、 p ...①
p² 、 1 ...②
(※ x, y は自然数より x + y > 1 + 1 = 2)

・①のとき
x + y = x² - xy + y² = p
p = x² + 2xy + y² - 3xy = p² - 3xy より
3xy = p² - p = p(p - 1)
よって、p または p-1 は 3 の倍数。
ここで、x, y は t の2次式方程式
(t - x)(t - y) = 0
t² - (x + y)t + xy = 0
t² - pt + p(p - 1)/3 = 0 の解でもある。
このとき、 t が実数解を持つための条件は判別式 D = p² - 4p(p - 1)/3 ≧ 0 である。これを整理すると p(p - 4) ≦ 0 となるため、 0 ≦ p ≦ 4
p または p-1 が 3 の倍数であり、かつ p は素数であることから、 p = 3 と定まる。
p = x + y = 3 となるような x, y は明らかに
(x, y) = (1, 2) or (2, 1)
である。

・②のとき
x² - xy + y² = 1
(x - y)² + xy = 1
(x - y)² ≧ 0 , xy ≧ 1 より、上式が成り立つには
(x - y)² = 0 かつ xy = 1 、すなわち x = y = 1
p² = x + y = 2 となり、解なし。

以上から、求める値は
p = 3
その時の x, y は
x = 1 , y = 2 または x = 2 , y = 1

以下問題 -----------------------------------------

質問者からの補足コメント

• 

  私の答案を示します
  
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  https://imgur.com/a/dMANfRM
  
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    補足日時：2024/03/24 06:33

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/24 16:56

1～2行目は不要

この回答へのお礼

>1～2行目は不要

とのご指摘ですが確かに、(x+y)=1 は有り得ないので

ご指摘の通りです

ありがとうございました。

お礼日時：2024/03/25 14:01

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/24 05:40

x,yは自然数

pは素数
p^2=x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
x+y≧2
だから
x+y=p.または.x+y=p^2

x+y=p^2と仮定すると
x^2-xy+y^2=1
(x-y)^2+xy=1
0≦(x-y)^2=1-xy
1≦xy≦1
xy=1
x=1,y=1
p^2=x+y=2
p=√2
となってpが整数であることに矛盾するから

x+y=p
x^2-xy+y^2=p
(x+y)^2-3xy=p
p(p-1)=3xy
pは3xyの素因数だから
pは3,x,yのどれかの素因数
0<y=p-xだからx<pだからpはxの素因数でない
0<x=p-yだからy<pだからpはyの素因数でない
pは3の素因数素数だから
p=3
x+y=p=3
1≦y=p-x,1≦x≦p-1=2
1≦x=p-y,1≦y≦p-1=2
∴
p=3
(x=1,y=2)または(x=2,y=1)

この回答へのお礼

質問で示した解法は私のものではありません。拾ってきたものです

何か考えを記さないと削除されてしまいますから。

私の答案は補足します。

お礼日時：2024/03/24 06:28