(1)p,2p+1,4p+1がいずれも素数となるpを全て求めよ。
(2)q,2q+1,4q-1,6q-1,8q+1がいずれも素数となるqを全て求めよ。
次の答案は正しいですか?
(1)以下の法は全て3とする(合同式はmod3です)
p≡1のとき2p+1≡0よりp≡1ならば2p+1=3→p=1は不適
p≡2のとき4p+1≡0よりp≡2ならば4p+1=3→p=1/2は不適
p≡0のときp=3
これは2p+1=7,4p+1=13より条件を満たす。
これらより求めるpは3
何卒宜しくお願い致します。
A 回答 (4件)
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No.3
- 回答日時:
p=1(mod 3)と仮定すると
2p+1=0(mod 3)
2p+1は3の倍数素数だから
2p+1=3
2p=2
p=1
となってpが素数であることに矛盾するから
p≠1(mod 3)
p=2(mod 3)と仮定すると
4p+1=0(mod 3)
4p+1は3の倍数素数だから
4p+1=3
4p=2
p=1/2
pが整数であることに矛盾するから
p≠2(mod 3)
p=0(mod 3)
pは3の倍数素数だから
p=3
2p+1=7 も素数
4p+1=13 も素数だから
∴
p=3
No.2
- 回答日時:
q=1(mod 5)と仮定すると
6q-1=0(mod 5)
6q-1は5の倍数素数だから
6q-1=5
6q=6
q=1
となってqが素数であることに矛盾するから
q≠1(mod 5)
q=3(mod 5)と仮定すると
8q+1=0(mod 5)
8q+1は5の倍数素数だから
8q+1=5
8q=4
q=1/2
となってqが素数であることに矛盾するから
q≠3(mod 5)
q=4(mod 5)と仮定すると
4q-1=0(mod 5)
4q-1は5の倍数素数だから
4q-1=5
4q=6
q=3/2
となってqが素数であることに矛盾するから
q≠4(mod 5)
q=0(mod 5)のとき
q=5
2q+1=11
4q-1=19
6q-1=29
8q+1=41
q=2(mod 5)のとき
2q+1=0(mod 5)
2q+1=5
2q=4
q=2
4q-1=7
6q-1=11
8q+1=17
∴
q=2 または q=5
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