仕事をクビになり会社の門で憔悴していたらババアがいきなり話しかけてきました。「この大きい袋に7で割

Question

仕事をクビになり会社の門で憔悴していたらババアがいきなり話しかけてきました。

「この大きい袋に7で割り切れない自然数がたくさん入っている。無作為にひとつ引いてこっちの小さい袋に入れろ。引いた自然数は見てはいけない。
小さい袋には不思議な力があり、入れた自然数のすべての正の約数がひとつずつ中に現れるので、無作為にひとつ引け。引いた約数はまだ見てはいけない。
その約数を7で割った余りが1,2,4のどれかであるか3,5,6のどれかであるか賭けろ。もしも確認して1,2,4なら一生遊んで暮らせるだけの金をくれてやる。3,5,6なら河童ハゲになるまで髪を毟りとる。」

…と。
私は1,2,4か3,5,6のどちらに賭けたらいいのでしょうか？

kamiyasiro · Accepted Answer

理屈が分からないので、1000までの自然数についてコンピュータで調べました。小さい方の袋での約数への変換は、１とその数自身も含まれています。そのうち１個を任意に選択し、残すようにしました。結果は、何度やっても、前者の方が圧倒的に有利だったです。どなたか、数理に詳しい方、宜しくお願いします。 Rのスクリプト～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ x <- 1:1000 x <- x[!x%%7 == 0] y <- NULL for(i in x){ res <- NULL for(j in 1:i){ if(i%%j==0) res <<- append(res, j) } y <- append(y, sample(res, 1)) } y1 <- y[y%%7 == 1 | y%%7 == 2 | y%%7 == 4] y2 <- y[y%%7 == 3 | y%%7 == 5 | y%%7 == 6] length(y1) length(y2) ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～結果の一例です。ランダム選択をしているので、解は一定ではありません。 > length(y1) [1] 530 > length(y2) [1] 328

mtrajcp · Answer

7で割った余りが1,2,4の数を平方剰余
7で割った余りが3,5,6の数を非剰余
ということにすると

平方剰余*平方剰余=非剰余*非剰余=平方剰余
平方剰余*非剰余=非剰余*平方剰余=非剰余
が成り立つ

pを非剰余の素数とする

p^(2k-1)
の2k個の約数の内
1,p^2,p^4,…,p^(2k-2),k個は平方剰余
p,p^3,p^5,…,p^(2k-1),k個は非剰余

p^(2k-1)
の約数が非剰余である確率は1/2

p^(2k)
の2k+1個の約数の内
1,p^2,p^4,…,p^(2k),k+1個は平方剰余
p,p^3,p^5,…,p^(2k-1),k個は非剰余

p^(2k)
の約数が非剰余である確率はk/(2k+1)<1/2

どの自然数も
約数が非剰余である確率は1/2以下と推定される

stomachman · Answer

「河童ハゲのリスクぐらい、一生遊んで暮らせるだけの金に比べたら何でもない」なんて思って飛びつくと、賭けに勝っても「あんたの寿命は今日1日だよ」とか言われかねないなあ。

kamiyasiro · Answer

mtrajcp様

大袋から出した自然数について７で割った余りを求めるのではなく、その自然数の約数の中から無作為に１つ選ばれるのです。

その選ばれた数を７で割った余りに関する問題なのです。

元の自然数が一様分布でも、その約数から１つ選んだものは一様ではないので、mtrajcp様の類推は成立しないのでは？

もちからぼたもち · Answer

どちらでも好きな方に賭けて、あるいは賭けないで、その瞬間を楽しめば良いと思います。

mtrajcp · Answer

1^2=1(mod7)
2^2=4(mod7)
3^2=2(mod7)
4^2=2(mod7)
5^2=4(mod7)
6^2=1(mod7)

すべての整数xに対して
x^2=1(mod7).or.x^2=2(mod7).or.x^2=4(mod7)
が成り立つ

1,2,4 は7の平方剰余

3,5,6 は7の平方非剰余

x^2=3(mod7)となる整数xは存在しない
x^2=5(mod7)となる整数xは存在しない
x^2=6(mod7)となる整数xは存在しない

従って

1,2,4

の方が多そう

kamiyasiro · Answer

No.7です。

あの数の出方は「ベンフォードの法則」に沿っているのだろうか、と考え始めたところです。

kamiyasiro · Answer

＞ はじめに選んだ自然数に依存するのではないかと言っていますが、どうなのでしょうか？

そりゃあ、数字の発生に一定の周期があるなど一様分布でないならば、違ってくるでしょうが、一様分布が指定されていないことは、この問題が破綻するほどの重篤な欠点ではないと思います。

この種の計数的問題は「無情報であれば一様分布」という暗黙の了解があるからです。

むしろ、どんなからくりを設ければ、答えが逆転するのか、そんなことに興味が出てしまいます。
（そんなからくりを作るのは、今の差がどうして出るのかが分かっていなければ無理だと思いますので、足りない頭を回転させて考えているところです。）

がいあん · Answer

＞コツコツ地道に働いとったのにこの仕打ちよ！？
どうしたらええんやろ…。

その苦労は必ず結ばれます！
信じましょう！
そして祈りましょう！

kamiyasiro · Answer

No.4です。

・１～1000の数から７の倍数を除いた数の約数を全て算出。
・約数の中から１個無作為に選ぶのではなく、いったん全ての約数を保存。
それを７で割った時の余りで分類して、その発生数を調べました。

その結果、次のようになりました。

> length(y1)
[1] 1499
> length(y2)
[1] 1050
> length(y3)
[1] 888
> length(y4)
[1] 800
> length(y5)
[1] 743
> length(y6)
[1] 701

ご質問の行為は、この中から無作為に１個選ぶのですから、余りの値が小さいほど、発生確率が高く、有利なことが分かります。
余り３と余り４とを入れ替えたくらいでは、余り１余り２のケースの多さに勝ることはできませんね。

仕事をクビになり会社の門で憔悴していたらババアがいきなり話しかけてきました。 「この大きい袋に7で割

理屈が分からないので、1000までの自然数についてコンピュータで調べました。

7で割った余りが1,2,4の数を平方剰余

「河童ハゲのリスクぐらい、一生遊んで暮らせるだけの金に比べたら何でもない」なんて思って飛びつくと、賭けに勝っても「あんたの寿命は今日1日だよ」とか言われかねないなあ。

mtrajcp様

どちらでも好きな方に賭けて、あるいは賭けないで、その瞬間を楽しめば良いと思います。

1^2=1(mod7)

No.7です。

＞ はじめに選んだ自然数に依存するのではないかと言っていますが、どうなのでしょうか？

＞コツコツ地道に働いとったのにこの仕打ちよ！？

No.4です。

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＞はじめに選んだ自然数に依存するのではないかと言っていますが、どうなのでしょうか？