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微分はある1点の傾きと習いました
3次関数の傾きは2次関数になるんですか?
何故3次関数を微分すると2次関数が出るんですか?

A 回答 (7件)

他の質問も見ましたがどうやら微分自体が何をやってるかまだ分かっておられない(計算のやり方しか分からない)みたいですね。

導関数についてはありものがたり様の書き方(教科書でまず出て来る書き方でもあります)よりもxの増分Δxとそれに伴うyの増分Δyを使って

Δy/Δx

と書いた時のΔxを0に近付けた極限と考えた方が導関数の具体的なイメージが湧きやすいと思います。もちろんどちらも同じ事を言ってるわけですが。
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関数 f(x) を微分するとは、


lim[h→0] { f(x+h) - f(x) }/h を計算することをいいます。
それが定義です。

3次関数 f(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D (A≠0) の場合は、
{ f(x+h) - f(x) }/h
= { (A(x+h)^3 + B(x+h)^2 + C(x+h) + D) - (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) }/h
= { A(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3) - Ax^3
 + B(x^2+2xh+h^2) - Bx^2
 + C(x+h) - Cx
 + D - D }/h
= A(3x^2+3xh+h^2+h) + B(2x+h) + C
= (3Ax^2 + 2Bx + C) + (3Axh + Ah^2 + Bh)
と展開できますから、
lim[h→0] { f(x+h) - f(x) }/h = 3Ax^2 + 2Bx + C
です。
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「なぜ三次関数を微分すると二次関数に」は「計算したらそうなる」としか言いようがありません。

御存知のはずですが

(x^n)'=nx^(n-1)

ですから微分すると次数が一つ下がる事になります。
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導関数


f(X+⊿X)−f(X)/⊿X
における冪関数の場合、問題は一般手な(X+⊿X)^nの⊿Xが一次になる項の係数が問題です。それが一般的にはnX^n-1⊿Xとなるからです。
なおなぜ二項定理の組み合わせ数が係数となり変数Xの次数が一つ下がったものになるのかという理由は不明です。
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n次多項式関数は


f(x)=Σ[i=1][i=n]a_ix^i
微分するとするとi次の項が
da_ix^i/dx=ia_ix^(i-1)
と(i-1)次に1次だけ下がります
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微分の定義に従って x^nをxで微分すると、nx^(n-1)になるから。

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y=f(x)とするとき、微小区間の傾き(微分値)とは、


xの微小変化をdx、yの微小変化をdyとするとき、
dy/dxを言います。

y=f(x)が直線(一次関数)のとき、
傾きは常に一定で、xに関与しません。つまり、微分値は0次関数です。

y=f(x)が二次関数のとき、
傾きは、xに比例します。つまり、微分値は一次関数です。

つまり、n次関数の微分値は、(n-1)次間数になる、
と言う性質があるのです。
微分の公式(の一つ)が、その様になっているので、
確認してください。
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