「ブロック機能」のリニューアルについて

娘に質問され、困っています。助けてください。よろしくおねがいします。

問題「実数 x,,y が条件-2≦x+y≦2を満たすとき、点(x+y,xy)の動く領域を求めよ。」

教えて!goo グレード

A 回答 (2件)

X = x + y


Y = xy
とおく.

与えられた条件から
-2 <= X <= 2. (1)

Y = x(X - x)
 = -x^2 + xX
 = -(x - X/2)^2 + X^2/4.
ここで
-∞ < x < +∞
なので
Y <= X^2/4. (2)

求める領域は,(1)かつ(2)の所.
---

(2)は次のようにしても得られる.

x, y は t に関する2次方程式
t^2 - (x + y)t + xy = (t - x)(t - y) = 0 (3)
の実数解.よって,(3)の判別式 D について
D = (x + y)^2 - 4xy
 = X^2 - 4Y
 >= 0
が成りたつ.
∴ Y <= X^2/4
---

ちょっと自信がありませんので,鵜呑みにしないでください.
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X=x+y,Y=xyとおくと


条件より 
-2≦X≦2 …(1)
x,yは2次方程式の解と係数の関係から
t^2-Xt+Y=0
の2実根なので、実数条件から
判別式D=X^2-4Y≧0 ∴Y≦(X^2)/4…(2)

(1),(2)の共通領域が点(X,Y)=(x+y,xy)の動く領域である。
この領域は図の斜線を施した領域(境界線を含む)です。
「高校数学 点(x+y,xy)の動く領域は」の回答画像2
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この回答へのお礼

大変よくわかりました。ありがとうございました。

お礼日時:2012/01/26 21:21

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