高校数学 点(x+y,ｘｙ）の動く領域は？

娘に質問され、困っています。助けてください。よろしくおねがいします。

問題「実数 x,，y が条件－２≦ｘ＋ｙ≦２を満たすとき、点（ｘ＋ｙ，ｘｙ）の動く領域を求めよ。」

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/01/26 20:54

X=x+y,Y=xyとおくと

条件より　
-2≦X≦2 …(1)
x,yは２次方程式の解と係数の関係から
t^2-Xt+Y=0
の2実根なので、実数条件から
判別式D=X^2-4Y≧0 ∴Y≦(X^2)/4…(2)

(1),(2)の共通領域が点(X,Y)=(x+y,xy)の動く領域である。
この領域は図の斜線を施した領域（境界線を含む）です。

この回答へのお礼

大変よくわかりました。ありがとうございました。

お礼日時：2012/01/26 21:21

No.1 ベストアンサー 回答者： ok-2011 回答日時： 2012/01/26 20:45

X = x + y

Y = xy
とおく.

与えられた条件から
-2 <= X <= 2.　(1)

Y = x(X - x)
　= -x^2 + xX
　= -(x - X/2)^2 + X^2/4.
ここで
-∞ < x < +∞
なので
Y <= X^2/4.　(2)

求める領域は，(1)かつ(2)の所．
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(2)は次のようにしても得られる．

x, y は t に関する２次方程式
t^2 - (x + y)t + xy = (t - x)(t - y) = 0　(3)
の実数解．よって，(3)の判別式 D について
D = (x + y)^2 - 4xy
　= X^2 - 4Y
　>= 0
が成りたつ．
∴ Y <= X^2/4
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ちょっと自信がありませんので，鵜呑みにしないでください．