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2変数関数の条件つき極値問題について、

ラグランジュ未定乗数法で候補点を求めたあと、

①ヘッセ行列の正負
②f_xxの正負
で極値(極大値or極小値)かどうかの判定をするのはだめなんですか?

質問者からの補足コメント

  • 条件が有界閉集合なら、
    候補点を代入した値のうち、大きい方が極大値、小さい方が極小値と判断していいってことですか?

      補足日時:2022/11/13 19:34

A 回答 (4件)

「ラグランジュ未定乗数法」とおっしゃるところからして、(ほとんどいたるところで)微分可能な等式制約条件がひとつ付いている、ってことでしょうかね。

すると、解が存在するのは等式制約条件で決まる集合X上ですから、本質的には1変数と同じこと。
(a) 極値がXの微分可能でない点(端点とか、折れ線やカスプの頂点とか)にあるかもしれない。
(b) 最小値(あるいは最大値)がXの孤立点にあるかもしれない。
(c) 極値とその近くでXは微分可能な曲線になっている。

(a)かどうか(もし「ホントは極値ではなく最大や最小を探している」んなら(b)も)をチェックしなくちゃいけませんね。(c)だとわかれば、未定乗数法でみつけた停留点における曲線の接線方向の2階微係数で決まる。
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有界閉集合に端が無ければ、そうです。


場合によって、多少の考察はあります。
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大丈夫です。


http://www.f.waseda.jp/ksuga/2005chap17.pdf

ただ、とても複雑なのと、一般の2変数の極値のように、ヘッセ
の式で求められない場合があります。

そこで有界閉集合上の連続関数は最大最小を持つことを使えば
簡単に解ける場合があります。それ以外の場合は、一般の場合と
同様、色々考える必要があります。
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f(x,y)=y^2+x^4


のとき
f_x=4x^3
f_y=2y
f_xx=12x^2
f_xy=0
f_yy=2
f_xxf_yy-(f_xy)^2=24x^2
ヘッセ行列は
f_xx(0,0)f_yy(0,0)-{f_xy(0,0)}^2=0
f_xx(0,0)=0
だから正負で判定できない
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