数学の問題で 2点A(0, 1), B(1,1) に結ぶ線分AB が、円x^2+y^2-2ax-2b

数学の問題で

2点A(0, 1), B(1,1) に結ぶ線分AB が、円x^2+y^2-2ax-2by-1=0の外部にあるとき, a,bの満たす条件が表す領域を ab 平面に図示せよ

という問題があるんですけど

あえて交わるような条件から求めてみたんですが
どうしても、かつ、かつ、で矛盾してしまいます

どこが違うのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 何故第1象限や第二象限のとき距離をとる点をA点にしているんでしょうか？

    補足日時：2022/07/30 08:59

No.5 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/30 21:28

「交わる条件」を考えて、その補集合を答にする、という基本方針は実に適切ですね。

さてそれから、

[1]「まずはa, bを定数だと思ってみる」というアプローチをお考えになったんですね。すると、「点(p,1)で交わる」とはpの二次方程式
　　p^2 - 2ap - 2b = 0
の解pのうちの少なくともひとつが0≦p≦1の実数であるということ。
　そこで次に、そのような解が存在するa, bの範囲を考える。場合分けがいっぱい生じるので、混乱しないように条件を整理すると良いです。
(1) 実数解がある
(2) 小さい方の解が0以上
(3) 小さい方の解が1以下
(4) 大きい方の解が0以上
(5) 大きい方の解が1以下
の条件を使って
　　((p,1)で交わる) ⇔ (1) ∧ (((2) ∧ (3)) ∨ ((4) ∧ (5)))
ですから、
　　((p,1)で交わる) ⇔ ((1) ∧ (2) ∧ (3)) ∨ ((1) ∧ (4) ∧ (5)))
ということ。ですがさらに aの符号で場合分けする必要が出てきて、
　　((p,1)で交わる) ⇔ A ∨ B ∨ C ∨ D
　　A = (a≧0 ∧ (1) ∧ (2) ∧ (3))
　　B = (a≧0 ∧ (1) ∧ (4) ∧ (5))
　　C = (a＜0 ∧ (1) ∧ (2) ∧ (3))
　　D = (a＜0 ∧ (1) ∧ (4) ∧ (5))
を調べることになります。

[2] 「まずはaが定数だと思ってみる」というアプローチが、この問題の場合には一番簡単でしょう。そうすると、
　0≦p≦1のときに
　　b = (p^2)/2 - ap
がとりうる範囲は？を考えれば良い。これって、よく見かけるヤツですよね。
　計算するまでもなく、右辺は(p,b) = (0,0)と(p,b)=(2a,0)を通る(b p 平面上の)放物線で、その頂点は(p,b)=(a,-(a/2)^2)にある。0≦p≦1という制約を考慮すると
　　a＜0のとき 0≦ b ≦1/2 - a
　　0≦a≦1のとき -(a/2)^2 ≦ b
　　1＜aのとき1/2 - a ≦ b ≦0
だとわかります。

[3] 「まずはbが定数だと思ってみる」というアプローチでもOKです。すなわち
　0≦p≦1のときに
　　a = p/2 - b/p
がとりうる範囲は？を考えればいいわけですが、p=0を特別扱いする必要がありますね。
　　da/dp = 0
を解けば、b<0のときにだけ極小があって、(p,a) =(√(-2b),-√(-2b)) が極小点。そこで0≦p≦1を考慮して
　　b＜-1/2のとき 1/2 - b ≦a
　　-1/2 ＜b＜0のとき √(-2b)≦a
　　b = 0のとき aはナンテモ
　　0＜bのとき a ≦ 1/2 - b
だとわかります。

[4] 「まずはpを定数だと思ってみる」というアプローチでもできます。すると
　　b = - pa + (p^2)/2
という、a b 平面上の直線の方程式が得られる。そこでpを0から1まで変えていくと、直線が掃く範囲が決まる。
　p = 0, 1, 1/2, 1/4, 3/4とかでグラフを描いてみれば一目瞭然、これらの直線は違いに交差します。ですから、領域の境界の一部は(pが互いに異なる)直線たちが作る包絡線になる。これで領域の概形がわかります。結局、境界は p=0のときの直線
　　b=0
と、p=1の時の直線
　　b = 1/2 - a
と、包絡線
　　b = - (a^2)/2
とそれらの交点(0,0), (1/2,0), (1, -1/2)で区切られることになります。

　いろんなアプローチを試してみると、得るものがあるでしょう。

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/31 08:35

#5さんの方法がとても簡単なことがわかった。

ただ、何を言って
いるのかさっぱりだったが。

円と直線 y=1 の交点 ABの範囲 0≦x≦1 となることを確かめれば
よい。交点は円で y=1 とすれば
　x²-2ax-2b=0
となる。この解は
　x=a±√(a²+2b)・・・・・・①
である。

1.
第1、2象限、b≧0 のとき、根号内は0以上で、①の解は存在し、
√(a²+2b)≧|a| なので、2根は正負となり、その間に必ず０となる
点が存在する。これは点Aなので、これらの象限は範囲外となる。

b=0 の時も、x=a±|a| となり、点A,x=0 を必ず含む。

2.
第３象限、a,b<0 のときは　√(a²+2b)<|a| なので、①は２つと
も負なので、ABの範囲にはない。また、a²+2b<0 のときは、解
自体が無く交点は無い。

第４象限は始めに示した議論になり、とても簡単になった。

この回答へのお礼

エレガントな解法助かりましたm(_ _)m

お礼日時：2022/08/03 12:24

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/30 09:38

あるいは、第１、2象限のすべての円が A(0,1)点を含むので

含まないことを示せない。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/30 09:36

ABが円に含まれることを示すにはAB上の１点だけでもよい

です。すると簡単に、この範囲は求める領域でないことが
わかります。

たまたま、第１、2象限のすべての(a,b)の円が A(0,1)点を
含むことに気が付いた。

それに対して、求める領域であることを示すには、AB全体が
円に含まれないことを調べないといけません。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/30 05:27

訂正

2項のだい3象限で
a≦0 としても b<0 なので
(x-a)²+(1-b)²=x²+2|a|x+a²+1+2|b|+b²>a²+1+b²

b軸を含めてよかった。したがって、図のb軸の破線は無し。

4.　まとめ
　ABが円の外にあるのは、a軸を除いた(b軸を含むが原点は除い
た)第3象限と

第4象限の
　　0<a≦1 かつ b<-a²/2
または
　　a>1 かつ b<-a+1/2
の範囲となる。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/30 05:14

(x-a)²+(y-b)²=a²+b²+1

これは、(a,b)を中心とした、半径 √(a²+b²+1) の円となる。
これは、(a,b)を中心に、半径 √(a²+b²+1) の円を描いて考える
とわかるが、計算で求める。

線分ABを (x,1) (0≦x≦1) とする。

1.　(a,b)が第1,2象限の時 (b≧0)
　円の中心からA点(0,1)までの距離の２乗は、b≧0 から
　　(0-a)²+(1-b)²=a²+1-2b+b²≦a²+1+b²
　なので、A点は円に含まれる (等号成立は b=0 のとき)。

2.　(a,b)が第3象限の時 (a,b<0)
　円の中心からA点(x,1) (0≦x≦1) までの距離の２乗は、a,b<0
から
　　(x-a)²+(1-b)²=x²+2|a|x+a²+1+2|b|+b²>a²+1+b²
　なので、ABは円の半径外にある。

3.　(a,b)が第4象限の時 (a>0, b<0)
　円の中心からA点(x,1) (0≦x≦1) までの距離の２乗は、
から
　　(x-a)²+(1-b)²=x²-2ax+a²+1-2b+b²
　なので、
　　x²-2ax-2b≦0・・・・・・①
であれば
　　(x-a)²+(1-b)²=x²-2ax+a²+1-2b+b²≦a²+1+b²
となって、ABは円の半径内にある。

①を満たすには
　　x=a±√(a²+2b)
が存在することであり、まず、判別式
　　a²+2b≧0 → b≧-a²/2・・・・②
の必要がある。また、0≦x≦1 だから、上のxの小さい方が1以下で
a>0 , b<0 だから
　　a-√(a²+2b)≦1 → a-1≦√(a²+2b)・・・・・③
となる。ただ、
　　a≦1・・・・・④
ならば、この関係は満たされている。つまり、②のみとなる。
a>1 のとき③を2乗して
　　b≧-a+1/2・・・・・⑤
となるが、a>1 のとき
　　-a+1/2>-a²/2
だから、⑤のみとなる。

まとめると、
　　0<a≦1 かつ b≧-a²/2
または
　　a>1 かつ b≧-a+1/2
のとき、円はABを含む。

したがって、
　　0<a≦1 かつ b<-a²/2
または
　　a>1 かつ b<-a+1/2
のとき、ABは円の外にある。

4.　まとめ
　ABが円の外にあるのは、a,b軸を除いた第3象限と第4象限の
　　0<a≦1 かつ b<-a²/2
または
　　a>1 かつ b<-a+1/2
の範囲となる。