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∠A=30°、∠B=90°、BC=1である直角三角形ABCがある。辺AB上に∠CDB=45°となるように点Dをとる。また直線ABと点Aで接し、点Cを通る円と直線CDの交点をEとする。


(1)線分ADの長さを求めよ。また、∠DAEを求めよ。

(2)線分AEの長さを求めよ。


(3)弦ACに関して、点Eと反対側の弧上に点Pをとる。△ACPの面積の最大値を求めよ。



求め方がわかりません。
三平方の定理を使ってADを求めたのですが、間違っているような気がします。
解説よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (3件)

(1)線分ADの長さを求めよ。

また、∠DAEを求めよ。
>BD=CD=1だからtan30°=BC/(AD+BD)=1/(AD+1)=1/√3
からAD+1=√3、AD=√3-1・・・答
(2)線分AEの長さを求めよ。
>BC/AC=1/AC=sin30°=1/2からAC=2
円の中心をOとするとAB⊥AOだから∠OAC=60°、OA=OCだから∠OCA=60°
よって△ACOは正三角形でAO=CO=EO=AC=2
∠ACD=∠ACB-∠DCB=60-45=15°円弧AEの円周角=∠ACD=15°だから
円弧AEの中心角は30°、よって線分AEは等辺の長さが2で頂角30°の
二等辺三角形の底辺の長さになるので、余弦定理により
AE^2=2^2+2^2-2*2*2cos30°=4+4-8*(√3)/2=8-4√3
AE=√(8-4√3)=√6-√2・・・答
(3)弦ACに関して、点Eと反対側の弧上に点Pをとる。△ACPの面積の最大値を求めよ。
>△ACPの面積が最大になるのは点PからACに下ろした垂線の長さが
最大になるときであり、それは直線OP⊥線分ACのとき。
円弧AEの中心角が30°なので、線分EOは∠AOCの二等分線であり、
かつEO⊥ACなので点Pは直線EOと直線OPは同一直線となり、
△ACPは底辺の長さが2で頂角が30°の二等辺三角形になるので、
余弦定理により等辺APの長さの二乗AP^2を求めると
2^2=AP^2+AP^2-2AP*APcos30°=(2-√3)AP^2よりAP^2=4/(2-√3)
このときの△ACPの面積=(1/2)AP^2sin30°=(1/2){4/(2-√3)}(1/2)
=1/(2-√3)=2+√3・・・答
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この回答へのお礼

大変わかりやすい解説ありがとうございました。

お礼日時:2013/03/13 16:46

△ABCは∠ABC=90°、∠CAB=30°の直角三角形だから辺の比は1:2:√3


したがってAB=√3、BC=1、CA=2である。
また△CDBは直角二等辺三角形であるから、辺の比は1:1:√2
したがってDB=BC=1、DC=√2
(1)AD=AB-DB=√3-1
  Aを通りABに垂直な直線を引き円との交点をFとすると、接弦定理より∠CAB=∠AFC=30°
  また四角形AFCDは円に内接するので∠AFC=∠AED=30°
  ∠DAE=∠CDB-∠AED=15°(三角形の外角と内角の関係)
(2)△ADE∽△CAD (2角が等しい)から CA:AE=CD:AD つまり2:AE=√2:√(3)-1
 AE=√6-√2
(3)△APCの面積が最大になるのは直線ACとPとの距離が最大となるときであり、PEが直径となるときである。ここで(1)の△AFCよりこの円の半径は2。円の中心をOとすると△OACは正三角形となるため、直線ACと中心Oとの距離は√3 よって△APCの高さは2+√3 よって面積は2×(2+√3)×1/2=2+√3
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2013/03/13 16:47

>三平方の定理を使ってADを求めた



三平方の定理をどういう風に適用したか、提示してみてください。

この回答への補足

△ABCは直角三角形なので
1:2:√3より、
BC=1
AC=2
AB=√3

AD:DB=CA:CB
=2:1

AD=√3*2/3=2√3/3


って風に求めました。

補足日時:2013/03/13 15:56
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2013/03/13 16:47

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