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放物線y^2=4pxの焦点Fを通る弦ABを直径とする円は放物線の準線に接することを示せ。またその接点をHとするとFHはABに垂直であることをしめせ!

この問題わかりません!!どなたか教えてください!!

まず私は、y^2=4pxの図を描きました
そのあとに円を書いて、準線にくっつくようにその円を描きました。そしてそのくっついた部分をH(接点)として、そのあと、この円が左右真っ二つになるように、直線を引いて(弦ABの事です)AからFに向かってそしてFを超えてBまで弦を書きました。

ここで円に対して、左右対称の真っ二つにして弦ABの線を描いたのは、”弦ABを直径とする”と題意に書いてあるので、弦を円の中に書いた時に、半分半分になってないと、たとえば左側の方が広くて、右側が狭いって事になってしまったら、これは直径の線ABと成らないと考えました。ここまでOKでしょうか?!>_<

さて、
問題を解き始め、まず、弦ABのAから準線に向かって一本線を引きました。そして、この垂線の足をCとしました。 
これは曲線を学んだ時、準線からAに向かって引く線は垂線であると学び、またAから焦点に伸びたAFとACは長さが等しいとも学びました。

よってAC=AF (1)
その後、ABと弦を引いた時にBがあるので、Bから準線に向かって垂線を引きました、このときの垂線の足をDとおきました。そしたら
BF=BDの関係が得られました。(2)

ここまでしかできません!!>_< 
このあとどうしたらよいでしょうか??
誰か教えてください!お願いします!

gooドクター

A 回答 (2件)

No1さんのヒントに付け足して、というか、ほぼ答えになるのですが、


 四角形ABDCは台形になっていますよね。このとき、ABの中点M
 を通りACと平行になっている線分MHの長さには、
   MH=1/2(AC+BD) が成り立つことは中学校の中点連結定理
 でやりました。わからなければ、MHとBCの交点をEとでもして、
 ME=1/2AC[△ABCで中点連結定理]
 HE=1/2BD[△BCDで中点連結定理]とすればいいでしょう。

後半の「FHはABに垂直であることをしめせ」について
1.△ABHは∠AHB=90°[直径ABに対する円周角]の直角三角形
2.∠BAH=∠BHD[円の接線と、接点を通る弦とではさむ角は、そ
      のその角内にある弧に対する円周角に等しい・・接弦定理]
3.△ABHで∠ABH(=∠FBH)=90°-∠BAH
  △BDHで、△BDHは直角三角形だから、
       ∠DBH=90°-∠BHD=90°-∠BAH
4.BD=BFと3.のことなどから△BDH≡△BFHがいえるので
  ∠BDH=∠BFH=90°したがって・・・
という順でやっていけばいいでしょう。

全体を図形で考えましたが、F(p,0)を通る直線[x=my+p]と
曲線y^2=4pxの交点A,Bのy座標をα、β(α>β)として、座標や
線分の長さなどを計算してもAM=HMが証明できます。
後半の垂直になることも、直線の直交条件m・m'=-1でできます。

 
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この回答へのお礼

ありがとうございました!!台形をかいてみたら段々と辺の長さの関係がみえてきて、解くことができました!!! 返事書いてくれて、ほんとうにどうもありがとうございました!!

お礼日時:2005/11/02 19:24

>これは直径の線ABと成らないと考えました。

ここまでOKでしょうか?!>_<
まぁ、それまでの部分に大きな間違いはないと思います。

この問題、大抵は、Aの座標を文字で置いたりして、強引に証明する事になるかと思いますが、

>よってAC=AF (1)
>BF=BDの関係が得られました。(2)

これに気付くと、幾何的に証明する事ができます。かなりいい所に気付きましたね。あと一歩です。

ヒントとしては、

・ABの中点をMとすると、このMは円の中心である
・Mから準線に下ろした垂線の足をHとする。
・円が準線に接する事は、MHが円の半径(直径の半分)に一致すること、つまり、MH=AB÷2と同値
・(1)式と(2)式を使う

といった所でしょうか。
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この回答へのお礼

返事書いてくれてありがとうございました!!!
”円が準線に接する事は、MHが円の半径(直径の半分)に一致すること”って書いてありましたので、計算を進めていったら、最後言われたとおりの関係になりました!!ありがとうございました!!>_<

お礼日時:2005/11/02 19:30

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