アポロニウスの円なんですが・・・

アポロニウスの円の問題なんですが、
☆円x^2+y^2=1上のすべての点Pに対して、PA=2PBを満たす2点A,Bの
　中点Mの軌跡を求めよ。
という問題なんですが、どの参考書を見ても、２点与えられていて、
その後から点Pの軌跡を求めて行く形式ばかりです。
この問題の場合はどのようにしたらよろしいのでしょうか？
解き方と、答えまでの導き方を教えてください。

No.2 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/11/08 03:01

答えは＃１さんのご回答通りで　円x^2+y^2=(5/4)^2　です．

ただし，この問題は点A,Bの必要性を示すのが面倒なのかも知れません．

「アポロニウスの円」の一般的性質より，
「２定点A,Bに対し，PA=2PBを満たす動点Pの軌跡は，線分ABを2:1の比に内分および外分する点を直径の両端とする円」
これの逆が成り立つことを承認（仮定）すれば・・・（＊），話は簡単で，
直線ABは円の直径と重なりますから，円上の特殊な2点P1(1,0), P2(-1,0)をとって，それぞれ順に線分ABを2:1に内分点および外分点になっている場合を考えて, A(2,0), B(1/2,0)　となります．
この２点A,Bに対する中点はM(5/4,0)です．

すると，原点に関する回転対称性より，（２点A,Bおよび）中点Mを原点周りに１回転させたものが求める軌跡で，回転対称性も考えた最終結果は＃１さんのご回答と一致して　円x^2+y^2=(5/4)^2　です．

もし（＊）を仮定せずに必要条件をまともに扱うと，面倒そうです．
原点に関する回転対称性より，A(a,0) （a≧０）ととれて，P(cosθ，sinθ)，B(b,c)　と置ける．
定数aに対し，任意の角θについて恒等的に　PA=2PB　⇔　PA^2=(2PB)^2
が成り立つ条件より，a=2, b=1/2, c=0 を導く．

[導出の方針]
展開していく手もありますが，あとの処理が面倒そう[cosθとsinθが線形独立といった条件(大学レベル)を使うか，さもなくば強引に合成？]．

（展開してから特殊な角を入れても出ますが，それよりは展開せずに）
まず　θ＝０°，90°，180°，270°という特殊な角で成立するための　a,b,cの必要条件から　a=2, b=1/2, c=0 を求め，逆にこのとき任意の角θについて恒等的に成立することを示す方が良さそうです．順に代入した式をうまく処理するとすぐに出ます．
第４式－第２式でｃ＝０，第３式－第１式でa=4b. これらを第２式に入れてb=1/2など．

No.1 回答者： kony0 回答日時： 2002/11/07 23:10

そもそもの答えから自信ないのですが

x^2+y^2=(5/4)^2
であってますっけ？（自信なし）

ところでご質問の内容は、２点A,Bを固定したときに、PA=2PBを満たす動点Pの軌跡を求める求め方ですか？（まさに「アポロニウスの円」の問題はこれ）
これだったら実は初等幾何でけっこうあっさり証明できます。
利用するのは「角の２等分線と比」に関する定理です。（中学校の教科書では出てこないので、高校の数学Aの幾何を参照してください。）

証明の概略は、線分ABを2:1の比に内分および外分する点をそれぞれC,Dとすると、
△PABでPA:PB=AC:CBより（内角の２等分線定理の逆に相当）角APC=角BPC
BAの延長線上に点Xをとって
PA:PB=PD:DBより（外角の２等分線定理の逆に相当）角BPD=角XPD
ということで角CPD=90度より、Pは線分CDを直径とする円周上にある。（自信あり）