数Aの証明

定理 AB≠ACである△ABCの∠Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点は、辺BCをAB:ACに外分する。

問 定理2を定理1(画像)の証明にならって証明せよ。ただしAB>ACの場合とする。


数Aです。
自分で解いてみたのですが苦手で出来ませんでした。どなたか教えてください。

No.2 回答者： Witschie 回答日時： 2016/10/25 17:51

外角の二等分線とＢＣの交点をＤ

また、ＤＡと
Ｂを通ってＡＣに平行な直線との交点をＥとする
∠Ｅ＝∠ＤＡＣ（∵ＡＣ//ＥＢ）
　　＝∠ＥＡＢ（外角の二等分線・対頂角）
よってＡＢ＝ＥＢ
ゆえに
ＡＣ：ＡＢ＝ＡＣ：ＥＢ
　　　　　＝ＤＣ：ＤＢ

No.1 回答者： motochans 回答日時： 2016/10/24 10:53

添付画像を見てください。

少し見づらい場合は拡大して見てください。
ご質問の条件でAB>ACとして図にしています。この図でｘ/y=p/qを示せばいいということですね。ただし、点Dは∠Aの外角の２等分線と直線BCの交点、また点Eは直線ABと点Dを通る線分ACの平行線の交点とします。
証明：
仮定より、∠CAD＝∠EAD 　・・・・・・・・・・・・・①
作図よりAC//DEであるから、∠CAD＝∠EDA(錯角)・・・②
①②より、∠EAD＝∠EDA　　・・・・・・・・・・・・・③
よって、△EADはEA=EDの二等辺三角形である。・・・・④
そこで図のように、EA=ED=ℓとし、BD＝ｐ、CD=ｑとすると
△BCA∽△BDE(CA//DE)であるから、対応する辺の比が等しいので
p/q=(x+ℓ)/ℓ　　・・・・・・⑤
x/y=(x+ℓ)/ℓ　　・・・・・・⑥
よって、⑤、⑥より
x/y=p/q
証明終わり
うーん、少し表現の工夫が足りないかな？レポートは工夫の余地ありです。