因数分解することができなくて困っています。

(y−x)^3−(y−z)^3−(z−x)^3を因数分解すると、3(x−y)(z−y)(z−x)になるようですが、何故このような答えになるのかわかりませんでした。
その為、ご存知の方がいらっしゃいましたら、ご教示いただければと思います。

なお、私が計算すると下記となります（計算の途中ですが、たすき掛けすることができませんでした）。

(y−x)^3−(y−z)^3−(z−x)^3
= y^3-3y^2x+3yx^2-x^3-(y^3-3y^2z+3yz^2-z^3)-(z^3-3z^2x+3zx^2-x^3)
= y^3-3y^2x+3yx^2-x^3-y^3+3y^2z-3yz^2+z^3-z^3+3z^2x-3zx^2+x^3
= -3y^2x+3yx^2+3y^2z-3yz^2+3z^2x-3zx^2
= 3(y-z)x^2-3(y^2-z^2)x+3yz(y-z)
= 3(y-z)x^2-3(y+z)(y-z)x+3yz(y-z)

よろしくお願いします。

No.3 回答者： think2nd 回答日時： 2018/08/13 21:02

この類の質問以前答えたことがあります。

"ご存知の方がいらっしゃいましたら、ご教示いただければと思います。"という優しい言葉についつい惹かれてお答えします。
　　A=y-x,B=y-zとおくとA-B=-x+z　と書けますから、　与式に代入すると
　　(y−x)^3−(y−z)^3−(z−x)^3=A^3-B^3-(A-B)^3
　　　　　　　　　　　　　　　　=A^3-B^3-A^3+3A^2B-3AB^2+B^3
　　　　　　　　　　　　　　　　=3A^2B-3AB^2
　　　　　　　　　　　　　　　　=3AB(A-B)　　　　　　A,B,Cを戻せば
　　　　　　　　　　　　　　　　=3(y-x)(y-z)(z-x)
　　　です。単なるゲームです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

y-x = A、y-z = B、z-x = Cと置き換えるのではなく、A-B = z-xから、y-x = A、y-z = B、z-x = A-Bと置き換えて解くというのは驚きました。
そして参考になりました。

このたびはどうもありがとうございました。

お礼日時：2018/08/13 22:00

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2018/08/13 20:31

もう少しじゃん！

3(y-z)x^2-3(y+z)(y-z)x+3yz(y-z)
=3(y-z)(x^2-xy-zx+yz)
=3(y-z){(x^2-xy)-(zx-yz)}
=3(y-z){x(x-y)-z(x-y)}
=3(y-z)(x-y)(x-z)
=3(x-y)(z-y)(z-x) 。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

確かにもう少しでした。

このたびはどうもありがとうございました。

お礼日時：2018/08/13 21:38

No.1 ベストアンサー 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/08/13 20:25

x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)の因数分解をうまく使えないかな？3つの3乗が出てきたらこの因数分解の利用を疑ってください。

(y−x)^3−(y−z)^3−(z−x)^3
=(y-x)^3+(z-y)^3+(x-z)^3
={(y-x)^3+(z-y)^3+(x-z)^3-3(y-x)(z-y)(x-z)}+3(y-x)(z-y)(x-z)

ここで、{}で括っているところは因数分解の形になっています。{}の中を因数分解すると

{(y-x)+(z-y)+(x-z)}×{(y-x)^2+(z-y)^2+(x-z)^2-(y-x)(z-y)-(z-y)(x-z)-(x-z)(y-x)}となり、{(y-x)+(z-y)+(x-z)}=0なので、この結果は0になりますよね。

なので、
{(y-x)^3+(z-y)^3+(x-z)^3-3(y-x)(z-y)(x-z)}+3(y-x)(z-y)(x-z)
=0+3(y-x)(z-y)(x-z)
=3(y-x)(z-y)(x-z)
=3(x-y)(z-y)(z-x)

あなたの方法はあともう一歩で、3(y-z)で括ればうまくいきます。

3(y-z)x^2-3(y+z)(y-z)x+3yz(y-z)
=3(y-z){x^2-(y+z)x+yz}
=3(y-z)(x-z)(x-y)
=3(x-y)(z-y)(z-x)

３つの３乗和はよく出てきます。展開は計算ミスの原因になるのでなるべく避けたいですね。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

ご回答いただいた公式をもとに計算してみたところ、答えにたどり着くことができるようになりました。

(y-x)^3-(y-z)^3-(z-x)^3
= (y-x)^3+(z-y)^3+(x-z)^3
y-x = A、z-y = B、x-z = Cと置き換えると、
= A^3+B^3+C^3
= A^3+B^3+C^3-3ABC+3ABC
= (A+B+C)(A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)+3ABC
A, B, Cをもとに戻す(とりあえず(A+B+C)の中だけ)。
= (y-x+z-y+x-z)(A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)+3ABC
= 0(A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)+3ABC
= 3ABC
A, B, Cをもとに戻す。
= 3(y-x)(z-y)(x-z)
= 3(x-y)(z-y)(z-x)

また、私の計算方法についても、ご回答いただいた内容をもとに計算してみたところ、答えにたどり着くことができるようになりました。

= 3(y-z)x^2-3(y+z)(y-z)x+3yz(y-z)
3(y-z) = Aと置き換えると、
= Ax^2-A(y+z)x+Ayz
= A(x^2-(y+z)x+yz)
= A(x-y)(x-z)
Aをもとに戻す。
= 3(y-z)(x-y)(x-z)
= 3(x-y)(z-y)(z-x)

私の計算方法ではミスが起こりやすいため、今後、3つの3乗和が出てきた際は、この公式が利用したいと思います。

このたびはどうもありがとうございました。

お礼日時：2018/08/13 21:32