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こんばんは。
よろしくお願いいたします。

x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz
になるのどうしてでしょうか。

どうぞ、よろしくお願いいたします。

A 回答 (3件)

x^3+y^3+z^3=x^3+y^3+z^3-3xyz+3xyz={x^3+y^3+z^3-3xyz}+3xyz=(x+y+z)

(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz
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この回答へのお礼

take_5さん
ありがとうございました。

お礼日時:2008/01/04 15:11

 f(p)=(p-x)(p-y)(p-z) と置いて展開すると、


   =(p^3)-(x+y+z)(p^2)+(xy+yz+zx)p-xyz となって、

    x,y,zを代入すると値は0となるので、
    次の三式が成立して、

  f(x)=(x^3)-(x+y+z)(x^2)+(xy+yz+zx)x-xyz=0
  f(y)=(y^3)-(x+y+z)(y^2)+(xy+yz+zx)y-xyz=0
  f(z)=(z^3)-(x+y+z)(z^2)+(xy+yz+zx)z-xyz=0

    三式を加えると、

[(x^3)+(y^3)+(z^3)]-(x+y+z)[(x^2)+(y^2)+(z^2)]+(xy+yz+zx)[x+y+z]-3xyz=0
[(x^3)+(y^3)+(z^3)]-(x+y+z)[  (x^2)+(y^2)+(z^2) - (xy+yz+zx) ]-3xyz=0

    となり、[(x^3)+(y^3)+(z^3)]以外を移項して、完成と。

(x^3)+(y^3)+(z^3)=(x+y+z)[(x^2)+(y^2)+(z^2)-(xy+yz+zx)]+3xyz
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この回答へのお礼

0lmn0lmn0さん
ありがとうございました・

お礼日時:2008/01/04 15:11

右辺を展開すれば容易にわかるでしょう。

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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2008/01/04 15:10

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