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直交座標{O: i,j,k}
曲面 z=-xyの点P(1,2,-2)における単位法線ベクトルnを求めよ

と言う問題があるのですが、これは

f = (x,y,z) = xy + z
gradf = yi + xj + k
(gradf)p = 2i + j - k

n = (gradf)p / |(gradf)p| = (2i + j -k)/√6

と算出したのですが、この考え方でよろしいでしょうか?

A 回答 (1件)

>f = (x,y,z) = xy + z


f(x,y,z)=xy+zのことね。
>gradf = yi + xj + k
>(gradf)p = 2i + j - k
ここでkの符号が変わるのはなぜだろう?
後はいいと思う。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

>>ここでkの符号が変わるのはなぜだろう?
ご指摘の通りgradfでzは消えてるので私の勘違いだと思います。

ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/07/23 14:42

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Q単位法線ベクトルの問題なんですが。。。

曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P(1, -1, 2)における単位法線ベクトルnを求めよ.

という問題です.

他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4
とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。

Aベストアンサー

未消化のgrad fを使わなくても以下のように出来ます。
いずれにしてもただ丸写しするのではなく教科書や講義ノートや参考書など
を復習して基礎的なことを勉強して、理解するだけの自助努力が大切です。

f(x,y,z)=4(x^2)y+z^3-4=0

全微分して
 8xydx+4(x^2)dy+3(z^2)dz=0

点P(1,-1,2)の座標を代入
 -8dx+4dy+12dz=0
 4(-2,1,3)・(dx,dy,dz)=0
法線ベクトル:±(-2,1,3)
 |(-2,1,3)|=√(4+1+9)=√14
単位法線ベクトルn=±(-2,1,3)/√14

Q単位法線ベクトルの求め方

曲面z=x^2+y^2の点(1,0,1)における単位法線ベクトルを求めよ

という問題で、答えが分からず困っています。


1.

φ=x^2+y^2-z=0
gradφ=(2x,2y,-1)
(1,0,1)での勾配は、(1,0,1)を代入してgradφ=(2,0,-1)
この単位ベクトルを求めて、(2,0,-1)*5^(-1/2)


2.

求める値は
{(∂φ/∂x)×(∂φ/∂y)}/{l(∂φ/∂x)×(∂φ/∂y)l}に(1,0,1)を代入すればよいので
(-2x,-2y,1)/(4x^2+4y^2+1)^(-1/2)に(1,0,1)を代入すればよい
よって、(-2,0,1)*5^(-1/2)

どちらの答えがあっているのでしょうか?

出てきた値の符号が違うので........

Aベストアンサー

ある曲面の単位法線ベクトルがuだとすると、-uもまた単位法線ベクトルになります。
両方とも単位法線ベクトルです。

Q何故偏微分が法線の成分に

 関数f(x,y,z)=0という曲面があって曲面上のある点Pの接平面を求めるとき
 Fx*X'+Fy*Y'+Fz*Z=0という式が出ます。
この式の意味するところはFx Fy FzがP点での法線ベクトルのx y z成分になるということらしいのですがよく理解出来ません。何故偏微分が法線ベクトルの成分になるのでしょうか?教えてください!

Aベストアンサー

>>斜面の勾配が最も急な向きは、(Fx, Fy) で与えられることは感覚的に納得できるでしょう。
>ここがよく分かりません。Fx=x-y平面でx方向のみ移動させた時のZの増加率になりますよね。何故これが法線ベクトルのx方向になるかが分かりません。

ここで言ったのは、(Fx,Fy)というベクトルが、"最大の勾配の方向"を与えるということです。
つまり、斜面にボールを置いたとき、-(Fx,Fy)の方向に転がるということです。
そして、"最大の勾配の方向"は等高線と垂直なはずだから、(Fx,Fy)は等高線の法線と同じ方向だと分かる。
ということなのですが、これで質問の回答になっているでしょうか…。

以下、(Fx,Fy)が"最大の勾配の方向"を与える理由を書きます。

F(x,y)を全微分すれば、
  dF = Fxdx + Fydy = (Fx,Fy)・(dx,dy)
よって,(dx,dy)が(Fx,Fy)と同一方向のとき dF は最大,すなわち (Fx,Fy) は"最大の勾配の方向"を与える.

イメージとしては次のような感じです。
F(x,y) = ax (x方向に傾いた板)では、(Fx,Fy) = (a,0) でx方向を向くベクトル。
F(x,y) = by (y方向に傾いた板)では、(Fx,Fy) = (0,b) でy方向を向くベクトル。
F(x,y) = ax+by (x方向とy方向の傾きを持つ板)では、(Fx,Fy) = (a,b) で斜面の方向を向くベクトル。(ノートか何かを傾けて確認してみるといいかもしれません)
微分可能な曲面は局所的には平面とみなせるから、(Fx,Fy) はその点での"最大の勾配の方向"を与えます。

ところで、ベクトル解析では(Fx,Fy)というベクトルを、grad F とか、∇F と書くのですが、ご存知ないでしょうか…。
もしご存知ないなら、私の説明は分かりにくいかもしれません。
参考までにwikipediaのURLの載せておきます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E9%85%8D

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E9%85%8D

>>斜面の勾配が最も急な向きは、(Fx, Fy) で与えられることは感覚的に納得できるでしょう。
>ここがよく分かりません。Fx=x-y平面でx方向のみ移動させた時のZの増加率になりますよね。何故これが法線ベクトルのx方向になるかが分かりません。

ここで言ったのは、(Fx,Fy)というベクトルが、"最大の勾配の方向"を与えるということです。
つまり、斜面にボールを置いたとき、-(Fx,Fy)の方向に転がるということです。
そして、"最大の勾配の方向"は等高線と垂直なはずだから、(Fx,Fy)は等高線の法線と同じ方...続きを読む

Q単位法線ベクトル

たとえばある曲面Sにおける単位法線ベクトルが[1,1,1]であるときその単位ベクトルと反対向きのベクトル[-1,-1,-1]も単位法線ベクトルといえると考えてもよいのでしょうか?

以下は問題で
x^2+y^2-z-1=0であらわされた曲面Sの点(1,1,1)における単位法線ベクトルを求めよというものです。
r'x=i + 2xk
r'y=j + 2yk
としこれらのベクトル積を求めました。
大きさは3となったのですが、ベクトル積は歪対象則から[-2,-2,1]と[2,2,-1]ができてしまうと思います。
しかし答えとしては[2/3,2/3,-1/3]のみしか載っていません。
もしただひとつ決まるものならばどのような考えでそのひとつに決まるのでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

単位法線ベクトルは絶対値が1ですから、絶対値で割ってやる必要がありますね。
(2,2,-1)の絶対値は 3 ですから 3で割って
(1/3)(2,2,-1)=
となるわけです。

数学では単位法線ベクトルが、向きが逆の
-(2/3,2/3,-1)=(-2/3,-2/3,1)
のどちらでも正解に入るでしょう。おそらく、より正の成分が多い方の
(2/3,2/3,-1)で代表させるのでしょう。

物理学や電磁気学では力や電気力線や磁界などの向きが問題になりますので、座標系やベクトル積を右手系で扱うとか、左手系で扱うとかに決めて、曲面にも正側、負側を決めてやります。
たとえばベクトル積の場合だと
A×Bのベクトルの向きを右手系で定義すると、AをBに重ねるように回転したとき、その回転面に対して垂直な方向に向けた右ネジを同じ向きに回転させた時、右ネジがすすむ方向をベクトル積の正の方向とする。

また別の例として、閉曲面の周囲を閉曲面を左に見て1周するとき、その面に立てた右ネジを同じ方向に回転させ右ネジが進む側の方の曲面を閉曲面の正の側とし、その正の側の方に向いた大きさ1の法線ベクトルを単位法線ベクトルと定義して不確定要素を排除しているかと思います。

右手系、左手系、その間の相互の変換については参考URLをご覧下さい。

参考URL
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%B3%E6%89%8B%E7%B3%BB
http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/AxialAndPolar/
http://wiki.livedoor.jp/atushiinliv/d/%BA%B8%BC%EA%BA%C2%C9%B8%B7%CF%A4%C8%B1%A6%BC%EA%BA%C2%C9%B8%B7%CF%B4%D6%A4%CE%CA%D1%B4%B9

参考URL:http://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/pdf/2002/a11/20.pdf

単位法線ベクトルは絶対値が1ですから、絶対値で割ってやる必要がありますね。
(2,2,-1)の絶対値は 3 ですから 3で割って
(1/3)(2,2,-1)=
となるわけです。

数学では単位法線ベクトルが、向きが逆の
-(2/3,2/3,-1)=(-2/3,-2/3,1)
のどちらでも正解に入るでしょう。おそらく、より正の成分が多い方の
(2/3,2/3,-1)で代表させるのでしょう。

物理学や電磁気学では力や電気力線や磁界などの向きが問題になりますので、座標系やベクトル積を右手系で扱うとか、左手系で扱うとかに決めて、曲面にも正側、負...続きを読む

Q接平面の方程式の求め方。

z=x^2+y^2の定める曲面上の点P(-1,-1,2)における接平面の方程式を
求める問題なのですが・・・
このような問題の場合、はじめに何をすればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

とおる点は与えられていますから、あとは平面の法線ベクトルを求めればOKですよね?

法線ベクトルの一般的な求め方は私にはわからないので他の方にゆだねます。(^^;)
私は、曲面を平面で切った図形について、接線を求めることをやろうかな?と考えます。これで2つの接線ベクトルを求めれば、そのいずれにも垂直なベクトルを求める(外積利用で一発)ことによって、法線ベクトルは作れますから。

求める曲面をx=-1で切断すると、z=y^2+1
これの(y,z)=(-1,2)における接線はz=-2y→接線ベクトルの成分は(0,1,-2)
よって、法線ベクトルは成分が(0,1,-2)のベクトルに垂直
同様にy=-1で切断して考えると、法線ベクトルは成分が(1,0,-2)のベクトルに垂直
よって、法線ベクトル=(0,1,-2)×(1,0,-2)=(-2,-2,-1)
従って、求める接平面は-2(x+1)-2(y+1)-(z-2)=0→2x+2y+z=-2

QC1級関数って何ですか?

級数の勉強をしていると、
” C1級数関数 ”
(※ 1はCの右上の小さい文字。表記できませんでした。)
という用語が出てきたのですが、どういう意味なのかわかりません。
どういう関数なのか教えてください。

Aベストアンサー

こんにちは.Esnaです.

C1級は,1回微分可能な関数のことです.
Cn級や,C∞級(e^x,sin x など)など微分可能回数によって関数を分類したものです.

Qベクトル場の面積分に関してです

1.半球面S:x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (-2x, 2y, z)において、
  ∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
    (条件:面積分と極座標を用いなければならない)

2.半球面S:x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (2x, 2y, z)において、
  ∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
    (条件:ガウスの発散定理を用いなければならない)

この2問がどうしても解けないので教えていただけないでしょうか?
特に、1.に関しては「式変形の流れ」、2.に関しては、閉局面として扱って計算した後に底辺を除く必要があるので「底辺の計算方法」だけでも教えていただけると有難いです。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

ベクトルを表すために
r↑ = (x,y,z)
みたいな表記を使います.

1.
極座標(r,θ,φ)を用いると
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
であり,S上でrは一定値 r = 3 です.

∫[S] f↑・dS↑ = ∫[S] f↑・n↑ dS

なのですが,S上で
f↑・n↑
= f↑・r↑/r
= (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r
= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
= (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r.

また,
dS = r^2 sin θ dθ dφ.
積分範囲はz ≧ 0なので,θは0からπ/2の値をとりうる.

以上より
∫[S] f↑・dS↑
= ∫[S] f↑・n↑ dS
= r^3 ∫[0,π/2] dθ ∫[0,2π] dφ (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)
= 2π r^3 /3
= 18π.

2.
Sに底面を合わせたものをEとし,Eを表面とする体積領域をVとすると,
ガウスの発散定理より

∫[E] f↑・dS↑
= ∫[V] div f↑ dV
= ∫[V] 5 dV
= 18π×5
= 90π.

で,求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ - ∫[底面] f↑・dS↑
なのですが,底面での単位法線ベクトルは明らかにz軸に平行であるのに対し,
底面においてz = 0ですから,f↑は底面において f↑ = (2x,2y,0)となり
z軸に対して垂直です.
すなわち,底面においてf↑とn↑とは垂直なのです:
f↑・n↑ = 0.

したがって
∫[底面] f↑・dS↑ = ∫[底面] f↑・n↑ dS = 0
であり,求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ = 90π.

ベクトルを表すために
r↑ = (x,y,z)
みたいな表記を使います.

1.
極座標(r,θ,φ)を用いると
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
であり,S上でrは一定値 r = 3 です.

∫[S] f↑・dS↑ = ∫[S] f↑・n↑ dS

なのですが,S上で
f↑・n↑
= f↑・r↑/r
= (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r
= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
= (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r.

また,
dS = r^2 sin θ dθ dφ.
積分範囲はz ≧ 0なので,θは0からπ/2の値をとりうる.

以上より
∫[S] f↑・dS↑
= ∫[S] f↑...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

QNをkgに換算するには?

ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?一応断面積は40mm^2です。
1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?
ただ、式の意味がイマイチ理解できないので解説付きでご回答頂けると幸いです。
どなたか、わかる方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kgfです。

重力は万有引力の一種ですから、おもりにも試験片にも、地球からの重力はかかります。
しかし、試験片の片方が固定されているため、見かけ、無重力で、試験片だけに40kgfの力だけがかかっているのと同じ状況になります。

試験片にかかる引っ張り力は、

40kgf = 40kg×重力加速度
 = 40kg×9.8m/s^2
 = だいたい400N

あるいは、
102グラム(0.102kg)の物体にかかる重力が1Nなので、
40kg ÷ 0.102kg/N = だいたい400N


>>>1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?

いえ。
1kgf = 9.8N
ですね。


>>>一応断面積は40mm^2です。

力だけでなく、引っ張り応力を求めたいのでしょうか。
そうであれば、400Nを断面積で割るだけです。
400N/40mm^2 = 10N/mm^2 = 10^7 N/m^2
1N/m^2 の応力、圧力を1Pa(パスカル)と言いますから、
10^7 Pa (1千万パスカル) ですね。

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kg...続きを読む

Q面積分の問題です。

放物面S:z=x^2+y^2、(x^2+y^2<=4)について、
(1)この曲面の表面積
(2)この曲面上でのφ=zの面積分
(3)この曲面上でのベクトル場A=yi-xj+z^2kの面積分
の求め方を教えてください。

Aベストアンサー

(1)
S:{(x,y,z)|z=x^2+y^2≦4}
D:{(x,y)|x^2+y^2≦4}
z=x^2+y^2
z_x=2x, z_y=2y
S1=∬[S] dS
=∬D √{1+(z_x)^2+(z_y)^2} dxdy
=∬D √{1+4x^2+4y^2} dxdy
x=rcosθ, y=rsinθとおくと
z=r^2≦4
0≦r≦2,0≦θ≦2π
D → E:{(r,θ)|0≦r≦2, 0≦θ≦2π}
√{1+4x^2+4y^2} dxdy=√(1+4r^2) rdrdθ
であるから
S1=∬[E} r√(1+4r^2) drdθ
=∫[θ:0→2π] dθ∫[r:0→2] r√(1+4r^2) dr
=2π[(2/3)(1/8)(1+4r^2)^(3/2)][r:0→2]
={17(√17)-1}π/6 ←(答え)

(2)
S:{(x,y,z)|z=x^2+y^2,z≦4}
D:{(x,y)|x^2+y^2≦4}
z=x^2+y^2
z_x=2x, z_y=2y
S2=∬[S] φdS
=∬[D} z√{1+(z_x)^2+(z_y)^2}dxdy
=∬[D] (x^2+y^2)√(1+4x^2+4y^2)dxdy

x=rcosθ, y=rsinθとおけば
(x^2+y^2)√(1+4x^2+4y^2)dxdy
=(r^2)√(1+4r^2) rdrdθ=(r^3)√(1+4r^2)drdθ
D → E:{(r,θ)|0≦r≦2,0≦θ≦2π}
S2=∬[E] (r^3)√(1+4r^2)drdθ
=∫[θ:0→2π] dθ∫[r:0→2](r^3)√(1+4r^2)dr
=2π∫[r:0→2](r^3)√(1+4r^2)dr
=2π[(1/120)(6r^2-1)(1+4r^2)^(3/2)][r:0→2]
=(391(√17)+1)π/60 ←(答え)

(3)
S:{(x,y,z)|z=x^2+y^2,z≦4}
D:{(x,y)|x^2+y^2≦4}
z=x^2+y^2
z_x=2x, z_y=2y

S3=∬[S] A↑・n↑dS
=∬[S] (y,-x,z^2)・(-2x,-2y,1)/√(1+4x^2+4y^2) dS
=∬[D] (-2xy+2xy+x^2+y^2)dxdy
=∬[D] (x^2+y^2)dxdy

x=rcosθ, y=rsinθとおくと
D → E:{r,θ)|0≦r≦2,0≦θ≦2π}
S3=∬[E] (r^2) rdrdθ
=∫[θ:0→2π] dθ∫[r:0→2] (r^3)dr
=2π[(1/4)r^4][r:0→2]
=8π ←(答え)

(1)
S:{(x,y,z)|z=x^2+y^2≦4}
D:{(x,y)|x^2+y^2≦4}
z=x^2+y^2
z_x=2x, z_y=2y
S1=∬[S] dS
=∬D √{1+(z_x)^2+(z_y)^2} dxdy
=∬D √{1+4x^2+4y^2} dxdy
x=rcosθ, y=rsinθとおくと
z=r^2≦4
0≦r≦2,0≦θ≦2π
D → E:{(r,θ)|0≦r≦2, 0≦θ≦2π}
√{1+4x^2+4y^2} dxdy=√(1+4r^2) rdrdθ
であるから
S1=∬[E} r√(1+4r^2) drdθ
=∫[θ:0→2π] dθ∫[r:0→2] r√(1+4r^2) dr
=2π[(2/3)(1/8)(1+4r^2)^(3/2)][r:0→2]
={17(√17)-1}π/6 ←(答え)

(2)
S:{(x,y,z)|z=x^2+y^2,z≦4}
D:{(x,y)|x^2+y^2≦4}
z=x^2+y^2
z_x=2x, z_y=2y
S2=∬[S] φdS
=...続きを読む