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こんばんは。
よろしくお願いいたします。

x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz
になるのどうしてでしょうか。

どうぞ、よろしくお願いいたします。

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A 回答 (3件)

x^3+y^3+z^3=x^3+y^3+z^3-3xyz+3xyz={x^3+y^3+z^3-3xyz}+3xyz=(x+y+z)

(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz
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この回答へのお礼

take_5さん
ありがとうございました。

お礼日時:2008/01/04 15:11

 f(p)=(p-x)(p-y)(p-z) と置いて展開すると、


   =(p^3)-(x+y+z)(p^2)+(xy+yz+zx)p-xyz となって、

    x,y,zを代入すると値は0となるので、
    次の三式が成立して、

  f(x)=(x^3)-(x+y+z)(x^2)+(xy+yz+zx)x-xyz=0
  f(y)=(y^3)-(x+y+z)(y^2)+(xy+yz+zx)y-xyz=0
  f(z)=(z^3)-(x+y+z)(z^2)+(xy+yz+zx)z-xyz=0

    三式を加えると、

[(x^3)+(y^3)+(z^3)]-(x+y+z)[(x^2)+(y^2)+(z^2)]+(xy+yz+zx)[x+y+z]-3xyz=0
[(x^3)+(y^3)+(z^3)]-(x+y+z)[  (x^2)+(y^2)+(z^2) - (xy+yz+zx) ]-3xyz=0

    となり、[(x^3)+(y^3)+(z^3)]以外を移項して、完成と。

(x^3)+(y^3)+(z^3)=(x+y+z)[(x^2)+(y^2)+(z^2)-(xy+yz+zx)]+3xyz
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この回答へのお礼

0lmn0lmn0さん
ありがとうございました・

お礼日時:2008/01/04 15:11

右辺を展開すれば容易にわかるでしょう。

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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2008/01/04 15:10

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^」に関するQ&A: e^(-x^2)の積分

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Q(a+b)(b+c)(c+a)+abcの因数分解

高校1年生になった娘から、数学の宿題を教えてと言われましたが、分かませんでした。どなたか教えていただけませんか?

問 (a+b)(b+c)(c+a)+abcを因数分解せよ。

Aベストアンサー

必要な程度展開する→1つの文字に着目して降べきの順に整理する が基本です。
(a+b)(b+c)(c+a)+abc
aについてまとめるためaが含まれる部分だけ展開
=(b+c){a^2+(b+c)a+bc}+abc
=(b+c)a^2+{(b+c)^2+bc}a+bc(b+c)
=(b+c)a^2+(b^2+3bc+c^2)a+bc(b+c)
たすきがけを行い
={(b+c)a+bc}{a+(b+c)}
=(a+b+c)(ab+bc+ca)

Qx^3+y^3をx+y,xyのみであらわすと…

学校で対象式を勉強して、先生が
x^3+y^3=(x+y)^2 -3xy(x+y)
といっていました。
しかし、右辺を展開してみても左辺のようになりません。
私の展開の仕方が間違っているのでしょうか?
間違っていたら正しいやり方も教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

(x+y)^2 -3xy(x+y)→(x+y)^3 -3xy(x+y)です

(x+y)^3 -3xy(x+y)
=(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3)-(3x^2y+3xy^2)
=x^3+y^3
になります

QX^3+Y^3=Z^3の証明方法を考えていますが?

  Xが2桁の数の時に限って、X^3+Y^3=Z^3 が成り立つ自然数組があると仮定し次の様な証明方法を考えていますが、(3),(4),の証明方法が思い付きません。
 誰か(3),(4),の証明方法を教えて下さい。併せて途中の添削指導も宜しくお願いします。

   Xが2桁の数の時、X^3+Y^3=Z^3 が成り立つ自然数組があったと仮定する。(X<Y<Zとし、XYZは
 正の整数とする。) X Y Z のそれぞれ最上位桁の数を A a2  a1 それ以外の数を B  b2 b1 
と置くと X Y Z は
              X = A + B
              Y = a2 + b2
Z = a1 + b1
と表す事が出来る。そうすると、X^3 Y^3 Z^3 は
              X^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3
              Y^3 = a2^3 + 3a2^2b 2 + 3a2b2^2 + b2^3  
Z^3 = a1^3 + 3a1^2b1 + 3a1b1^2 + b1^3
と表す事ができる。
          X^3  +  Y^3 = Z^3 を移項して X^3 = Z^3 - Y^3 と表すと、右辺を
 イ) a1^3 - a2^3 = A^3 + (±△a)
 ロ) b1^3 - b2^3 = B^3 + (±△b)
 ハ) ( 3a1^2b1 + 3a1b1^2) - ((3a2^2b2 + 3a2b2^2 ) = (3A^2B +3AB^2) + {- (±△a)} + { - (±△b)}
と表す。ここで (3A^2B +3AB^2) = W と置くと、右辺(Z^3-Y^3)は
   { A^3 +(±△a) } + { W +,-(±△a) + ,-(±△b) } + { B^3 + ( ±△b) } となる。
  左辺(X^3)は 
           X^3 = A^3 + W + B^3 となる。そうすると、X^3 = Z^3 - Y^3 は
  A^3 +W + B^3 = { A^3 + (±△a) } + { W +,- (±△a) + , (±△b) } + { B^3 + (±△b) } となる。
 この時 X^3 = Z^3 - Y^3 が成り立つと仮定した時の成り立つ形は
 (1) A^3 + W = {A^3+ (±△a) } + { W +,- (±△a) +,- (±△b) }
(2) W + B^3 = { W +,-(±△a) +,- (±△b) } + {B^3 + (±△b) }
(3) W = { W +,-(±△a) +,- (±△b) }
(4)  A^3 キ {A^3 +(±△a) } かつ W キ {W +、-(±△a) +,- (±△b) } かつ B^3 キ{ B^3 + (±△b)}
         の4つの形となる。これより Xが2桁の数の時、X^3 + Y^3 = Z^3 が成り立つかどうかは、(1)(2)(3)(4)を証明すれば良い事が分かる。
   証明
     (1) が成り立つと仮定した時
        A^3 +W = { A^3 + (±△a) } + { W +,-(±△a) +,-(±△b)}を移項すると
        A^3 - A^3 + W - W +,-(±△a) + (±△a) = -(±△b)
0 = -(±△b)
これより b1^3 - b2^3 = B^3 が 成り立つ事となる。これは、Xが1桁の数の時 X^3 = Z^3 -Y^3
が成り立つ事であるので表-1より(表-1は省略します。)成り立つ所が無いので、これより(1)の形で成り立つと仮定した事と矛盾するので、(1)の形で成り立つと仮定した事が間違いである事がわかる。
    (2) が成り立つと仮定した時
       W + B^3 = {W+,-(±△a) +,- (±△b) } + { B^3 + (±△b) } を移項すると
       W - W + B^3 -B^3 + (±△b) +,- (±△b) = (±△a)
0 = (±△a)
  これより a1^3 - a2^3 = A^3 が成り立つ事が分かる。ここで、A^3 (a1^3 -a2^3) の集合を考えて見ると
    A^3 の集合は
             A^3 = 10^3 20^3 30^3     ~            90^3  
(a1^3 -a2^3 ) の集合は(a1>a2の時)
             20^3-10^3 
30^3-20^3 30^3-10^3  
40^3-30^3  40^3-20^3  40^3-10^3 
- - - -     
- - - -
100^3-90^3 100^3-80^3 ~          10^3
- - - -
- - - -
となる。A^3 a1^3 - a2^3 の双方に1/10 をかけるとゼロを取る事が出来るので、A/10 = As, a1/10 = a1s a2/10 = a2s と表す事とする。そうすると、As^3 = a1s^3 -a2s^3 となる。これはXが1桁の数の時、X^3 = Z^3 - Y^3 、が成り立つ事と同じであるので表-1より成り立つ所がないのでこれより
(2)の形で成り立つと仮定した事と矛盾するので、(2)の形で成り立つと仮定した事が間違いである事が
わかる。
(3) が成り立つと仮定した時
                W = { W +,-(±△a) +,-(±△b)} を移項すると
                W - W +(±△a) = - (±△b)
(±△a) = - (±△b)
? ? ? ? ?
                ? ? ? ? ?
、  ここで泥沼にはまって動けないでいます。
(4) が成り立つと仮定した時
                ? ? ? ? ?
                ? ? ? ? ?
     誰か分かる方、(3)(4)の証明方法を宜しく御教授下さい。お願いします。

  Xが2桁の数の時に限って、X^3+Y^3=Z^3 が成り立つ自然数組があると仮定し次の様な証明方法を考えていますが、(3),(4),の証明方法が思い付きません。
 誰か(3),(4),の証明方法を教えて下さい。併せて途中の添削指導も宜しくお願いします。

   Xが2桁の数の時、X^3+Y^3=Z^3 が成り立つ自然数組があったと仮定する。(X<Y<Zとし、XYZは
 正の整数とする。) X Y Z のそれぞれ最上位桁の数を A a2  a1 それ以外の数を B  b2 b1 
と置くと X Y Z は
              X ...続きを読む

Aベストアンサー

 「ある自然数X, Y, Zが存在して, 0<X≦99であり、しかもX^3 = Z^3 - Y^3である」と仮定したのですね。そして矛盾を導こうというのでしょう。面白いチャレンジだと思います。

> X^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3
> Y^3 = a2^3 + 3a2^2b 2 + 3a2b2^2 + b2^3
> Z^3 = a1^3 + 3a1^2b1 + 3a1b1^2 + b1^3

 つまり、
  A=(Xの最上位の桁の数字×10、B=X-A
  a1=(Zの最上位の桁の数字×(10^(Zの桁数-1))、b1=Z-a1
  a2=(Yの最上位の桁の数字×(10^(Yの桁数-1))、b2=Y-a2
と定義なさった。これらを X^3 = Z^3 - Y^3 に代入すれば
  (A+B)^3 = (a1^3 - a2^3) + (b1^3 - b2^3) + 3(a1^2b1 + a1b1^2- a2^2b2 - a2b2^2) …(1)
である。ここでさらに
  (±△a) = a1^3 - a2^3 - A^3
  (±△b) = b1^3 - b2^3 - B^3
という記号を定義すると、(なんでこんなへんてこな記号を使うのかは問わないことにして)
  (A+B)^3 = (A^3+(±△a)) + (B^3+(±△b)) + 3(a1^2b1 + a1b1^2- a2^2b2 - a2b2^2) …(2)
右辺の第3項 3(a1^2b1 + a1b1^2- a2^2b2 - a2b2^2) は
  第3項 = (a1+b1)^3 - (a2+b2)^3 - a1^3 + a2^3 - b1^3 + b2^3
  = Z^3 - Y^3 - a1^3 + a2^3 - b1^3 + b2^3
 さて X^3 = Z^3 - Y^3 だと仮定したのだから、これを使って
  第3項 = X^3 - a1^3 + a2^3 - b1^3 + b2^3
  = (A+B)^3 - a1^3 + a2^3 - b1^3 + b2^3
  = (3A^2B + 3AB^2) - a1^3 + a2^3 + A^3 - b1^3 + b2^3 + B^3
  = (3A^2B + 3AB^2) - (±△a) - (±△b)
なので
  (A+B)^3 = (A^3+(±△a)) + (B^3+(±△b)) + (3A^2B + 3AB^2) - (±△a) - (±△b) …(3)
さらに
  W = 3A^2B + 3AB^2
と定義する。ここまでは結構ですね。
 (3)式をこのWを使って書くと、
  (A+B)^3 = (A^3+(±△a)) + (B^3+(±△b)) + W - (±△a) - (±△b) …(4)
である。ですから、

> { A^3 +(±△a) } + { W +,-(±△a) + ,-(±△b) } + { B^3 + ( ±△b) } となる。

とお書きの所、"+,-"だなんて訳の分からない記号が現れる余地などありませんで、正しくはただの"-"です。従って、

> この時 X^3 = Z^3 - Y^3 が成り立つと仮定した時の成り立つ形は

と仰るけれども、「4つの形」など出て来やしません。

 ちなみに(4)式の右辺の無用な括弧をはずしてみれば
  (A+B)^3 = A^3 + B^3 + W  …(5)
つまり(1)式から、堂々巡りの挙げ句
  X^3 = X^3 …(6)
という正しい式に到達したのだと分かります。ここまででは自然数独特の性質をまだ何ひとつ使っていない(X, Y, Zが実数であっても成立つような操作しかやっていない)。だからまだ何も出てこなくて当然、ってことです。

 また、(たとえば4通りの)場合分けをして証明するのなら、(何もご質問のような持って回ったやりかたをしなくたって)X,Y,Zに関する何か適当な性質P(X,Y,Z)とQ(X,Y,Z)を決めて、
[1] P(X,Y,Z)とQ(X,Y,Z)が共に成立つ場合。
[2] P(X,Y,Z)が成り立ちQ(X,Y,Z)が成立たない場合。
[3] P(X,Y,Z)が成り立たずQ(X,Y,Z)が成立たつ場合。
[4] P(X,Y,Z)とQ(X,Y,Z)がどちらも成立たない場合。
の4通りをそれぞれ検討し、どの場合にもX^3=Z^3-Y^3の解が無い事を示す、という風にやれば良いのです。もちろん、適当な(つまり、それぞれの場合について証明が簡単になるような)P, Qを見つけることこそが難しい訳ですが。

 「ある自然数X, Y, Zが存在して, 0<X≦99であり、しかもX^3 = Z^3 - Y^3である」と仮定したのですね。そして矛盾を導こうというのでしょう。面白いチャレンジだと思います。

> X^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3
> Y^3 = a2^3 + 3a2^2b 2 + 3a2b2^2 + b2^3
> Z^3 = a1^3 + 3a1^2b1 + 3a1b1^2 + b1^3

 つまり、
  A=(Xの最上位の桁の数字×10、B=X-A
  a1=(Zの最上位の桁の数字×(10^(Zの桁数-1))、b1=Z-a1
  a2=(Yの最上位の桁の数字×(10^(Yの桁数-1))、b2=Y-a2
と定義なさった。これらを X^3...続きを読む

Qx^3+y^3+z^3の最大最小

「実数x,yがy+z=1かつx^2+y^2+z^2=1を満たしながら変わるとする。同値関係に十分注意しながらW=x^3+y^3+z^3の最大値、最小値を求めよ。」

という問題です。

よろしくお願いします。

あと、なぜか「実数x,yが」と、zを抜かしていますが、誤植なのかどうかがわかりません・・・。

Aベストアンサー

途中端折りますが解き方の流れを書くので
ご自分で答案を作ってみてください。

1番目と2番目の式から
x^2+2y^2-2y=0 ・・・★
が得られます。

1番目と3番目の式から
W=x^3+y^3+(1-y)^3
となりますが、展開すると★を使ってWはxの
3次式になることがわかります。
W=f(x)と書きましょう。

2番目の式から|x|,|y|,|z|≦1であることと★から
0≦x^2≦1/2 ・・・☆
が必要なことがわかります。
(yについての二次関数の最大最小)

実際xが☆を満たすどんな数であっても、
1~3番目の式を満たすy,zが存在するかどうか
調べます。手元の計算によると実際するわけ
ですが要証明。

というわけで、xが☆の範囲を動くときのW=f(x)
の増減を調べればよいです。

Wがxだけの式になるように問題をうまく作った
のでしょうね。受験問題にしか現れない都合の
良い問題のようです。

Qx^5+y^5

x^5+y^5=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-x^2*y^2*(x+y) になるのはなぜですか?
理屈を詳しく教えて下さい。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

こんにちは。

x^3 = A
x^2 = a
y^3 = B
y^2 = b
と置くと、

(x^2 + y^2)(x^3 + y^3) = (a + b)(A + B)
 = aA + bB + aB + bA
 = x^5 + y^5 + x^2y^3 + x^3y^2
 = x^5 + y^5 + x^2y^2(x + y)

頭とお尻だけ書くと、
(x^2 + y^2)(x^3 + y^3) = x^5 + y^5 + x^2y^2(x + y)
なので、
(x^2 + y^2)(x^3 + y^3) - x^2y^2(x + y) = x^5 + y^5

Q平均分子量

平均分子量についてイマイチわかりません。高校生レベルで教えてください。

Aベストアンサー

>以下の内容は.高等学校で教えているのでしょうか。
>モル凝固点降下.モル沸点上昇.(気体の)分圧.浸透圧
これは高校化学で教えています。

みなさんの言うとおり、分子量×割合(分圧)で計算します。
平均分子量は見かけの分子量をあらわすので、その名のとおり、平均値です。
空気の場合は、窒素(分子量28)が78%、酸素(分子量32)が22%とするとこのとおり。
28×0.78 + 32×0.22 = 28.88(平均分子量)

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

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いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qアセトとは・・・?

アセトアルデヒド = アセト + アルデヒド
アセトン     = アセト + ケトン

・・・だと思うのですが、アセトとは何でしょうか?
暇なときにでも回答していただければありがたいです。

Aベストアンサー

慣用名を持つアルデヒドは対応するカルボン酸から名前をとることがあり, 例えば
ホルムアルデヒド = formaldehyde/蟻酸 = formic acid
アセトアルデヒド = acetaldehyde/酢酸 = acetic acid
ベンズアルデヒド = benzaldehyde/安息香酸 = benzoic acid
となっています.
ということでアセトアルデヒドの「アセト」は酢酸に由来し, さらに酢酸の「アセティック」は「酢」に由来すると思います. イタリア語では aceto, ラテン語でも acetum が「酢」ですから.
アセトンも, 酢酸からの連想か CH3C(=O) のアセチル基からの連想かのどちらかじゃないでしょうか.

Q2階微分d^2y/dx^2を詳しく教えてください

微分=傾き=tanθ=dy/dxと言うのは入門書でなんとかわかったのですが
2階微分=傾きの変化率(傾きの傾き)=d^2y/dx^2
のこのd^2y/dx^2がなぜこうなるのかぜんぜんわかりません。
dy/dxがどう変化してd^2y/dx^2となるのか教えてください。
いろいろ本やネットで調べましたが傾き=tanθ=dy/dxまでは入門書でも
詳しく書かれているのですがd^2y/dx^2へはどの解説でもいきなり飛んでいってしまいます。

Aベストアンサー

表記の仕方ですか?
dy/dxは 
yをxで微分するということです
2階微分はdy/dxをさらにxで微分するということです
dy/dxのyのところをdy/dxにおきかえれば
d(dy/dx)/dx=d^2y/dx^2
見た目ではdが2回掛かっているからd^2
dxの部分も2回掛かっているのでdx^2なんですが
dを1つの変数とみたり、dxを1つの変数と見てたりして分かりにくいかもしれません
これはそう決めたからなんです
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Q証明終了の記号。

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調べたところ、QED、■、//があるということですが、手書きの場合だと、個人的な意見としては、//が書きやすいです。

ですが、よく使われるのは、QEDなのでしょうか?
最近の流行りがあるのであれば、どれが一般的なのか知りたいです。

Aベストアンサー

どれも非常によく使われますが、
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証明を書いたのと同じ言語で、「証明終了」とか
"That was to be proved." とか、書いておくのが
自然だと思います。証明をラテン語で書いたのなら、
"quod erat demonstrandum" ですね。


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