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高校の宿題なんですけど、
実数x、yがx^2+xy+y^2=3を満たしていて
u=x+y、v=xyとするとき、
1.vをuの式で表す
2.uのとりうる値の範囲は?
3.x+xy+yのとりうる値の範囲は?
一週間ず~っと悩んでるんですけど、1.はかろうじて解けても2.3がまったく分かりません。
ちなみに1.の解は
v=u^2-3であってるでしょうか?

A 回答 (2件)

1歩遅かったか・・・



ポイントと回答を載せときます。できればポイントだけ見て自分で解いた方がいいかと。

ポイント
1.v=u^2-3であってます。

2.
x・yが実数より、tに関する二次方程式
 t^2-(x+y)t+xy=0
は、実数の2解を持たねばならない。(っていうか、実数xと実数yが解)
判別式を取りましょう。
vとuに関する条件式がでるので、1の結果を用いてuだけの2次不等式にできます。解きましょう。

3.
1.の結果を用いてx+xy+yをuだけの式にできます。
2.の範囲での最大最小を求めます。


回答
1.式の変形
与式より
 x^2+xy+y^2-3=0
 (x+y)^2-xy-3=0
 u^2-v-3=0
 v=u^2-3

2.とりうる範囲
u=x+y v=xy 、x・yが実数より、tに関する二次方程式
 t^2-ut+v=0
は、実数の2解を持たねばならない。(ここ大事)
 D=u^2-4v=(x+y)^2-4xy=(x-y)^2>=0
 v<=(u^2)/4
この式に1.の結果を代入して、
 u^2-3<=(u^2)/4
 u^2<=4
 -2<=u<=2

3.値の範囲
 x+xy+y=u+v=u^2+u-3=(u+1/2)^2-13/4
従って f(u)=(u+1/2)^2-13/4の-2<=u<=2での増減を調べればよい。(以下省略)
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました(^^)
この問題って98年の某大学の入試問題だったんですね・・・。
さっき自分の問題集で発見しました。
1週間悩んでた私って一体・・・。
でもその問題集の回答が略解だったので、詳しく分かってよかったです☆

お礼日時:2003/11/05 23:28

xとyを入れ替えても変わらない式を対称式といいます。


対称式は基本対称式、x+y,xyの2つを用いて表せます。
x^2+xy+y^2=3
(x+y)^2-xy=3
u^2-v=3
ということで1はあってますね。

(2)
x,yはtの2次方程式の解だから次のように表せて
t^2-ux+v=0
tは実数だから
u^2-4v≧0
v≦-u/2,u/2≦v
v=u^2-3だから
u^2+u/2-3≦0,u^2-u/2-3≧0
コレをといてください。

(3)x+xy+y=u+v(=kとおく)
縦軸にvを横軸にuをとってグラフを描いてみましょう。

v=u^2-3・・・・・1
v=-u+k(kはy切片)・・・2
uの(2)で求めた範囲。・・・3

でkのとりうる値を求めましょう。
(1と2の3の範囲で交わるようなkの値)
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
やっぱり数学って解けると面白いけど、それまでが大変ですね。。
とても詳しい解説ありがとうございます!!

お礼日時:2003/11/05 23:30

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