X^2+XY+Y^2=X+Y を満たすとき、S=X+Y の範囲を求めなさい という問題なのですが、自

X^2+XY+Y^2=X+Y
を満たすとき、S=X+Y の範囲を求めなさい


という問題なのですが、自分で解くと0≦S
としか出ないです。
そんな答えはないと思いますし、間違ってると思います。

どうなるか教えて頂けませんか？

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/09/27 22:09

X^2+XY+Y^2=X+Y

⇔(x+y)²-xy=x+y
⇔xy=ｓ²-s
足して～、かけて～で思いつくのは2次方程式
ということで
x,yを解とするtの2次方程式は
(t-x)(t-y)=0
⇔t ²-(x+y)t+xy=t²-st+(ｓ²-s)=0・・・①
x,yが実数という事ならばsも実数で①の判別式はD≧０でなければならない

D=ｓ²-4(ｓ²-s)≧０
s(3s-4)≦０
∴0≦s≦4/3

No.5 回答者： 零化イデアル 回答日時： 2018/10/04 07:08

これね.

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

X = x/√2 + y/√2 + 1/3, Y = x/√2 - y/√2 + 1/3, などという変換は試してみたかな.

No.4 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/10/03 21:25

S=X+Y, T=X-Y と置くと

S²-T²=4XY
X²+XY+Y²=X+Y
S²-XY=S
S²-(S²-T²)/4=S
3S²/4+T²/4=S
3S²-4S=-T²
S(3S-4)=-T²≦0 (等号成立条件は T=0)
0≦S≦4/3 (等号成立条件は X=Y)

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/09/28 12:33

No.1は間違っている。

No.2が正解。
別解法
X^2+XY+Y^2=X+Y＿①のとき、S=X+Y の範囲を求める
X=A+B，Y=A－B＿②とおくと、式①は
①＝(A+B)^2+(A+B)(A－B)+(A－B)^2＝(A+B)+(A－B)
A^2+2AB+B^2+ A^2－B^2+ A^2－2AB+B^2＝2A
3 A^2+B^2＝2A、　3 A^2+B^2－2A=0＿③
上記の問題は3 A^2+B^2－2A=0のとき、S=2A の範囲を求めよという問題となる。
3(A－1/3)^2－1/3+B^2＝0
3(A－1/3)^2＝1/3－B^2≦1/3
(A－1/3)^2≦1/9＿④
平方根をとると
－1/3≦A－1/3≦1/3
0≦A≦2/3＿⑤
S=2Aだから、0≦S≦4/3＿⑥が答えである。以下、検算
両端のA=0とA=2/3を調べる。③に入れると
A=0のときB=0、②からX=0，Y=0、S= 2A=0
A=2/3のときB=0、②からX=2/3，Y=2/3、S=2A=4/3
式①に入れるとA=0のとき①の左辺=0=右辺となる。
式①に入れるとA=2/3のとき①の左辺=4/3=右辺となる。

さらに別解法、ラグランジュの未定定数法。条件付き最大最小問題の定番の方法
最大最小の目的式をS=X+Y＿⑦とする。
条件式をX^2+XY+Y^2－(X+Y)＝０＿⑧とする。λを未定定数として
F＝S－λ⑧をX、Yで微分して０と置いた式を条件とすればよい。
F＝S－λ⑧＝X+Y－λ(X^2+XY+Y^2－(X+Y))＿⑨
∂F/∂X＝1－λ(2X+Y－1)=0＿⑩
∂F/∂Y＝1－λ(X+2Y－1)=0＿⑪
⑩－⑪＝－λ(X－Y)=0よりX－Y=0、X=Y＿⑫
これを式⑧に入れると
3Y^2－2y＝０＿⑬
Y＝０または2/3＿⑭これに⑫を使って
X＝０または2/3＿⑮これに⑦を使って
S＝0と4/3が最小と最大となる。

No.1 回答者： 海月9664 回答日時： 2018/09/27 18:26

X,Yは実数ですよね？

S=X+Y
⇒S^2=X^2+2XY+Y^2
⇔XY=(1/2)(S^2-X^2-Y^2)
ですから
X^2+XY+Y^2=X+Y
⇔X^2+(1/2)(S^2-X^2-Y^2)+Y^2=S
⇔S^2-2S=-(X^2+Y^2)
-(X^2+Y^2)≦0より
S^2-2S≦0
⇔S(S-2)≦0
⇔0≦S≦2