2変数で表された多項式の因数分解

ある問題を計算して答えを出したところ、x^4-2x^3y-x^2y^2-2xy^3+y^4+4x^2y+4xy^2-3x^2-3y^2+1　(ただし、＾は累乗を表す)となり、答えを出すことができたのですが、問題集の解答には、(x^2-3xy+y^2+x+y-1)(x^2+xy+y^2-x-y-1)のように因数分解された解答が掲載されていました。
確認したところ、両者の値は一致しており、実際問題としては、どちらで答えを記述してもよいのだとは思いますが、はじめの式を因数分解して、あとの式のように変形することは一般的には可能なのでしょうか？
もしもわかられる方がいらっしゃれば、お教えいただければ幸いです。

No.8 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2012/06/20 22:21

x^4-2x^3y-x^2y^2-2xy^3+y^4+4x^2y+4xy^2-3x^2-3y^2+1

この式はxとyの対称式になっているので、
x+y=s
xy=t
とおいて与式をs,tで表せば、tに関しての２次式になります。

与式＝5t^2-(6s^2-4s-6)t+s^4-3s^2+1

あとは、解の公式を使ってもいいし、
s^4-3s^2+1＝(s^2+s-1)(s^2-s-1)
と因数分解してから、たすきがけの要領で因数分解してもいい。

この回答へのお礼

有り難うございます！
言われてみればわかることですが、気付かなかったです。
有り難うございました！！

お礼日時：2012/06/20 22:38

No.7 回答者： ta20000005 回答日時： 2012/06/20 21:04

携帯でwolframに解かせたら瞬殺でした。

すげー。

この回答へのお礼

回答を頂き、有り難うございます。
私は、基本的にMaximaを普段使っているので、後で確認してみたいと思います。
携帯のwolframがあるのを初めて知りました。

お礼日時：2012/06/20 22:41

No.6 回答者： ramayana 回答日時： 2012/06/20 20:31

ご質問の因数分解は合っています。

ちなみに、手元のパソコンで因数分解を実行したところ、15分かかりました。

No.5 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/20 19:44

＞はじめの式を因数分解して、あとの式のように変形することは一般的には可能なのでしょうか？

できないと思います。
式を展開してみて分かったことですが、足りない項があります。
答えの式に、３ｘｙ－３ｘｙ＋ｘ^3－ｘ^3＋ｙ^3－ｙ^3＋ｘ－ｘ＋ｙ－ｙを付け足せばできるかもしれません。
でも、そこまで無理して因数分解する必要があるのかなという気もします。

No.4 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/06/20 19:19

2 次なら x の多項形式とみなして解けるのでしょうけど、4 次ともなると…。

　　x^4 - 2x^3y - x^2y^2 - 2xy^3 + y^4 + 4x^2y + 4xy^2 - 3x^2 - 3y^2 + 1
を x の多項形式にして整理。
　　x^4 - 2y*x^3 -(y^2 - 4y + 3)*x^2 + (4y^2 - 2y^3)*x + (y^4 - 3y^2 + 1)
　= x^4 - 2y*x^3 -(y-1)(y-3)*x^2 + 2y^2(2-y)*x + {(y^2 - 1) + y}{(y^2 - 1) - y}
これが、
　　{x^2 + a(y)*x + b(y)}{x^2 + c(y)*x + d(y)}
と分解可能なら、
　　a(y) + c(y) = - 2y　　　　　　　　　　…(x^3)
　　b(y) + a(c)c(y) + d(y) = -(y-1)(y-3)　　　　…(x^2)
　　a(y)d(y) + b(y)c(y) = 2y^2(2 - y) 　　　　　…(x^1)
　　b(y)d(y) = {(y^2 - 1) + y}{(y^2 - 1) - y}　　　…(x^0)
と表せるはず。

いわゆる「過剰決定」でパッとしないが、
(x^0) から、
　　b(y) = {(y^2 - 1) + y}
　　d(y) = {(y^2 - 1) - y}
と決め付け (x^2) へ放り込むと、
　　a(c)c(y) = -3y^2 + 4y -1 = -(3y-1)(y-1)
などとイジクリ回せば…？
　　　

No.3 回答者： ramayana 回答日時： 2012/06/20 19:10

「あらかじめ定められた手順があって、それに従って作業すれば、必ず、有限の時間内に因数分解できる（あるいはそれ以上因数分解できないことが確認できる）」という意味でなら、複素数を係数とするすべての２変数多項式を因数分解する、一般的な方法があります。

ただ、「有限の時間」が１秒なのか100億年なのかは保証できません。

No.2 回答者： zeta0208 回答日時： 2012/06/20 18:10

ANo.の続き

質問の中に「一般」という言葉がありますが、これは重要な数学用語です。
「どのような」とか「あらゆる」とか「条件を付けることなく」といったような意味です。
「世間一般」の一般とは少しニュアンスが違いますので念のため。

この回答へのお礼

あまり深く考えず「一般」という言葉を使ってしまいました。
ご指摘いただき、ありがとうございます。

お礼日時：2012/06/20 22:43

No.1 回答者： zeta0208 回答日時： 2012/06/20 18:04

時間をかけれは何とかなるかもしれないというのが回答だと思います。

「かもしれない」というのは学校で出される問題は、まず因数分解しなさいといったように因数分解できる前提の問題だからです。
そうでなければ出来るかどうかの判断は自分でやらなければならず、相当な勘と経験が必要だと思いますよ。

少し話変わりますが例えば素因数分解はご存知でしょうか？
例えば 19×17= 323
しかし逆に 323=19×17 は難しいですよね。
大きな数字　何億桁ともなるとまあ無理です。しかし時間をかければできます。
このように数学では一方向には簡単であるが逆方向には難しい、出来なくはないが天文学的な時間（今あるコンピューターを使って、ビッグバンから現在までの時間をかけてもできない）を要するというものを研究する分野もあります。
この実質解けないに等しいという性質は暗号に応用されていていろいろなところで利用されています。

質問から話がそれましたが、頑張ってください。