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y=x^x^xを微分すると何になりますか?

質問者からの補足コメント

  • 自然対数をとるのは分かるのですが…

      補足日時:2021/05/14 07:54
gooドクター

A 回答 (4件)

No.3さんへ



(x^x)x^(x^x-1)≠x^x^x

です

dy/dx = u x^(u-1) + { (x^u)(log x) }{ v x^(v-1) + { (x^v)(log x) }1 }
   = (x^x) x^(x^x-1) + { (x^x^x)(log x) }{ x x^(x-1) + (x^x)(log x) }

   = x^(x+x^x-1) + { (x^x^x)(log x) }{ x^x + (x^x)(log x) }
   = x^(x^x+x-1) + (x^x^x)(x^x)(log x){ 1 + (log x) }
   = (x^x^x)x^(x-1) + (x^x^x)(x^x)(log x){ 1 + (log x) }

   = (x^x^x)x^(x-1){1 + x(log x){ 1 + (log x) }}
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対数微分法なんて要りませんよ。


式を y = x^u, u = x^v, v = x と見て見ましょう。
多変数版の合成関数の微分を使って、
dy/dx = ∂y/∂x + (∂y/∂u)(du/dx)
   = u x^(u-1) + { (x^u)(log x) }(du/dx),
du/dx = ∂u/∂x + (∂u/∂v)(dv/dx)
   = v x^(v-1) + { (x^v)(log x) }(dv/dx),
dv/dx = dx/dx = 1.
これをまとめて、
dy/dx = u x^(u-1) + { (x^u)(log x) }{ v x^(v-1) + { (x^v)(log x) }1 }
   = (x^x) x^(x^x-1) + { (x^x^x)(log x) }{ x x^(x-1) + (x^x)(log x) }
   = x^x^x + { (x^x^x)(log x) }{ x^x + (x^x)(log x) }
   = (x^x^x)(x^x){ 1 + (log x) }^2.
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y=x^(x^x)


t=x^x
とすると
y=x^t
logy=tlogx
↓両辺を微分すると
y'/y=t'logx+t/x…(1)

log(t)=xlogx
↓両辺を微分すると
t'/t=1+logx
↓両辺にtをかけると
t'=(1+logx)t
↓これを(1)に代入すると
y'/y=(1+logx)tlogx+t/x
↓t=x^xだから
y'/y=(1+logx)(x^x)logx+(x^x)/x
y'/y=x^(x-1){1+xlogxlog(ex)}
↓両辺にy=x^x^xをかけると

y'=(x^x^x)x^(x-1){1+xlogxlog(ex)}
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logy=x^x*logx 両辺を微分して


1/y*y'=x^(x-1)*logx+x^x*1/x=x^(x-1)(log(ex))
y'=(x^x^x)*x^(x-1)(log(ex))
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