g(x)=loge(1-x^2)をマクローリン展開したとき、x^nの項の係数をn≧1の場合について示

g(x)=loge(1-x^2)をマクローリン展開したとき、x^nの項の係数をn≧1の場合について示せ(ただし、-1<x<1)、という問題が解けません。f[n](x)=(-1)^(n-1)*(n-1)!/(1+x)^nということを前問で求めたのですが、これを利用するのでしょうか。教えてください。

質問者からの補足コメント

• 忘れてました
  f(x)=loge(1+x)で、f[n](x)はf(x)のn次導関数です

    補足日時：2019/03/05 22:50

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/05 22:39

f[n](x) って、何ですか？

log(1-x^2) = log(1+x)(1-x) = log(1+x) + log(1-x) ですから、
log(1-x) のマクローリン展開を log(1-x) = Σ[n=0→∞](c_n)x^n として
log(1-x^2) = Σ[n=0→∞](c_n)(-x)^n + Σ[n=0→∞](c_n)x^n
= Σ[n=0→∞](c_n)((-x)^n + x^n)
= Σ[k=0→∞]2(c_2k)x^2k　となります。

log(1-x) のマクローリン展開は、等比数列の和
1/(1-x) = Σ[n=0→∞]x^n の両辺を積分して
-log(1-x) = Σ[n=0→∞](1/n)x^(n+1)　から求められますね。

この回答へのお礼

そのマクローリン展開の求め方は知りませんでした。
ありがとうございました！

お礼日時：2019/03/05 23:55

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/05 22:43

あ、いけね。

1/(1-x) = Σ[n=0→∞]x^n の両辺を積分して
-log(1-x) = Σ[n=0→∞](1/(n+1))x^(n+1)