ここから質問投稿すると、最大4000ポイント当たる!!!! >>

log(1-x^2) のn階導関数を求めてください、お願いします。 

│x│<1 です。

A 回答 (3件)

│x│<1のとき、1+x,1-x は共に正です。


よって、

log(1-x^2)
= log{(1-x)・(1+x)}
= log(1-x)+log(1+x) となります。

これより、一階導関数は

(d/dx){log(1-x^2)}
= (d/dx){log(1-x)+log(1+x)}
= 1/(x-1)+1/(x+1)

と計算出来、

さらに繰り返し微分することで、

(d/dx)^n{log(1-x^2)}
= (d/dx)^(n-1){1/(x-1)+1/(x+1)}
= (d/dx)^(n-2){(-1)/(x-1)^2+(-1)/(x+1)^2}
= (d/dx)^(n-3){(-1)・(-2)/(x-1)^3+(-1)・(-2)/(x+1)^3}


= (-1)^(n-1)×(n-1)!×{1/(x-1)^n+1/(x+1)^n}

と計算できます。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます。

お礼日時:2013/06/09 14:55

f(x)=log(1-x^2)


f'(x)=-2x/(1-x^2)=1/(x-1)+1/(x+1)
=(x-1)^(-1)+(x+1)^(-1)
f''(x)=(-1)(x-1)^(-2)+(-1)(x+1)^(-2)=(-1){1/(x-1)^2+1/(x+1)^2}
f'''(x)=f^(3)(x)=(-1)(-2){(x-1)^(-3)+(x+1)^(-3)}
=(-1)^2*2!{1/(x-1)^3+1/(x+1)^3}

...

f^(n)(x)={(-1)^(n-1)}(n-1)!{1/(x-1)^n +1/(x+1)^n}

こんな風にやればいいかな?
    • good
    • 2
この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2013/06/09 14:55

一回微分してみて、それを部分分数分解。

    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2013/06/09 14:56

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qn次導関数の求め方

x^3・sinxのn次導関数を求めたいんですけどやり方がよくわかりません。これはライプニッツの公式をつかうらしいんですけど…帰納法じゃできないんですか?あとよろしければライプニッツを使った解法もおしえてもらえればうれしいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

合成関数の微分の公式
D(fg)=D(f)g+fD(g)
から何回か微分を行い,結果なり関係式なりを適当に推測して,それを帰納法を使って証明する方法でも別に問題ありません.

ライプニッツの公式は,2項定理
(a+b)^n=Σ[k=0,n]C[n,k]a^k*b^(n-k) (C[n,k]はnCkのこと・・・掲示板では見にくいので)
の「微分バージョン」みたいなもので
D^(n)(fg)=Σ[k=0,n]C[n,k]D^(k)f*D(n-k)g (D^(k)はk階微分のこと)---(*1)
というように合成関数の微分公式をn階微分まで拡張したものです.この公式を使えば推測して帰納法で証明しなくても一気に結果を求めることができます.

とはいうものの,実際この公式を適用するためには(*1)の右辺を見ればわかるように,個々の関数fとgについての1~n階微分までの情報はあらかじめ知っている必要があります.
この問題では個々の関数の微分は下のように
x^3 → 3x^2 → 6x→ 6 →0(以降すべて0)
sin(x) → cos(x) → -sin(x) → -cos(x) → …(以降繰り返し)---(*2)
簡単に求められます.しかもx^3の方は4次以上の微分は0なので,f=x^3, g=sin(x)とおくと(*1)の右辺でk=4以降の項は出てきません.すなわち,
D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*D^(n)(sin(x))+C[n,1]*3x^2*D^(n-1)(sin(x))+C[n,2]*6x*D^(n-2)(sin(x))+C[n,3]*6*D^(n-3)(sin(x))
となります.sin(x)の微分は(*2)よりまとめて
D^(n)(sin(x))=sin(x-nπ/2)
とかけますので,
D^(n-1)(sin(x))=sin(x-nπ/2+π/2)=cos(x-nπ/2)
D^(n-2)(sin(x))=cos(x-nπ/2+π/2)=-sin(x-nπ/2)
・・・
のように変形しておけば,最終的に
D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*sin(x-nπ/2)+3nx^2*cos(x-nπ/2)-3n(n-1)x*sin(x-nπ/2)-n(n-1)(n-2)*cos(x-nπ/2)
となることがわかります.

合成関数の微分の公式
D(fg)=D(f)g+fD(g)
から何回か微分を行い,結果なり関係式なりを適当に推測して,それを帰納法を使って証明する方法でも別に問題ありません.

ライプニッツの公式は,2項定理
(a+b)^n=Σ[k=0,n]C[n,k]a^k*b^(n-k) (C[n,k]はnCkのこと・・・掲示板では見にくいので)
の「微分バージョン」みたいなもので
D^(n)(fg)=Σ[k=0,n]C[n,k]D^(k)f*D(n-k)g (D^(k)はk階微分のこと)---(*1)
というように合成関数の微分公式をn階微分まで拡張したものです.この公式を使えば推測して帰納法...続きを読む

Q∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
= 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2
と分解しよう。

∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、
∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、
部分積分する。

∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、
知らなければどうしようもない。
(x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qe^x・log(1+x^2)のマクローリン展開

微積の問題でe^x・log(1+x^2)をマクローリン展開せよ。という問題がありました

e^xとlog(1+x^2)にわけそれぞれマクローリン展開してかければいいのはわかるのですが
この二つを掛け算してまとめてうまく答えにもっていくことができません

二つの掛け算から答えにもっていく方法の解説をお願いします

ちなみに答えは
x^2+x^3+・・・・・・
です

Aベストアンサー

>e^xとlog(1+x^2)にわけそれぞれマクローリン展開してかければいいのはわかるのですが

それでよいでしょう。

e^x=1+x+x^2/2+x^3/3!+x^4/4!+x^5/5!+…+x^n/n! + …
log(1+x^2)=x^2-x^4/2+x^6/3-x^8/4+x^10/5
 + … +((-1)^(m+1))(1/m)x^(2m) + …

>この二つを掛け算してまとめてうまく答えにもっていくことができません
>二つの掛け算から答えにもっていく方法の解説をお願いします

e^x*log(1+x^2)
=(1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+…)
*(x^2-x^4/2+x^6/3-x^8/4+x^10/5 + …)

log(1+x^2)の方の括弧をばらして、

=x^2*(1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+…)
-x^4*(1/2)(1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+…)
+x^6*(1/3)(1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+…)
-x^8*(1/4)(1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+…)
+x^10*(1/5)(1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+…)


xの次数の低いから高い方へ各次の項の係数を順に拾って行くと

=x^2+x^3+(1/2-1/2)x^4+(1/6-1/2)x^5+(1/24-1/4+1/3)x^6 + …
=x^2+x^3-(1/3)x^5+(1/8)x^6 + …    ←答え

>e^xとlog(1+x^2)にわけそれぞれマクローリン展開してかければいいのはわかるのですが

それでよいでしょう。

e^x=1+x+x^2/2+x^3/3!+x^4/4!+x^5/5!+…+x^n/n! + …
log(1+x^2)=x^2-x^4/2+x^6/3-x^8/4+x^10/5
 + … +((-1)^(m+1))(1/m)x^(2m) + …

>この二つを掛け算してまとめてうまく答えにもっていくことができません
>二つの掛け算から答えにもっていく方法の解説をお願いします

e^x*log(1+x^2)
=(1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120+…)
*(x^2-x^4/2+x^6/3-x^8/4+x^10/5 + …)

log(1+x^2)の方の括弧をばらして、
...続きを読む

Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか?
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)   〔t→0〕
がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

Qx^(2/3) + y^(2/3) = 1で囲まれる領域D

x^(2/3) + y^(2/3) = 1で囲まれる領域Dを求めたいのですが、どのように求められるのでしょうか?

Aベストアンサー

ANo.7 です。
ANo.4さんの参考URLと同じものを参照していました。

Q逆三角関数のn回微分

ArcsinX ArccosX ArctanX
のn回微分の求め方が分かりません。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

Ag-mp さんのご回答:
ミスタイプか,あるいはケアレスミスかと思いますが
(1)  (d/dx) arctan(x) = 1/(1+x^2)
ですね.

ライプニッツの定理は,積の微分の一般公式で,
(2)  (fg)^(n) = f^(n) g + C(n,1) f^(n-1) g^(1) + C(n,2) f^(n-2) g^(2)
         + ・・・+ f g^(n)
ですから,yumomonori さんのように f=arcsin(x)、g=1 とおいても
何も新しいことは出てきません.
なお,C(n,2) などは二項係数です.

(3)  (d/dx) arcsin(x) = 1/√(1-x^2)
ですから,積の微分ではなくて,合成関数の微分と見なすべき問題です.
つまり,
(4)  f(x) = 1/√(1-x) = (1-x)^(-1/2)
(5)  g(x) = x^2
として
(6)  h(x) = f(g(x))
の高階導関数を求める問題になります.

この種の問題はなかなか面倒で,
見通しよく扱うには Bell の多項式と呼ばれるものを使う方法が一般的ですが,
なかなかきれいな形にはまとめられないことがほとんどです.

質問の arcsin,arccos についてはたくさんの項の和,
という形にしかならないようです.

arctan については,岩波の数学公式集に
(7)  (d/dx)^n arctan(x)
    = (n-1)! {cos^n (arctan(x))} sin{n[arctan(x) + (π/2)]}
という恐ろしげな式が載っています.
どうやって導いたのか,すぐには見えません.
まあ,よくこんな式求めましたよね.

というわけで,簡単に求められる話ではありません.
(7)はこの式がわかっていれば,帰納法で証明できそうではあります.

Ag-mp さんのご回答:
ミスタイプか,あるいはケアレスミスかと思いますが
(1)  (d/dx) arctan(x) = 1/(1+x^2)
ですね.

ライプニッツの定理は,積の微分の一般公式で,
(2)  (fg)^(n) = f^(n) g + C(n,1) f^(n-1) g^(1) + C(n,2) f^(n-2) g^(2)
         + ・・・+ f g^(n)
ですから,yumomonori さんのように f=arcsin(x)、g=1 とおいても
何も新しいことは出てきません.
なお,C(n,2) などは二項係数です.

(3)  (d/dx) arcsin(x) = 1/√(1-x^2)
ですから,積の微分ではなくて...続きを読む

Qarcsinxの積分は?

タイトルのとおり、arcsinx の積分を求めたいのですが、どうすればいいか分かりません。
部分積分を使って解こうとしたのですが、うまくいきませんでした。
どなたか教えていただけませんか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

 ∫x'arcsinx dx
= x・arcsinx - ∫x(arcsinx)'dx

f(x)の逆関数の微分は f(x) = y とおくと 1/f'(y) になります。

arcsinx = y とおくと、
(arcsinx)' = 1/(siny)' = 1/cosy

また、x = siny より dx = cosy dy

よって、
 ∫x(arcsinx)'dx
= ∫siny・1/cosy・cosy dy
= ∫siny dy
= -cosy
= -√(1-(siny)^2)
= -√(1-x^2)

したがって、
∫arcsinx dx = x・arcsinx + √(1-x^2)

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。


人気Q&Aランキング