n回微分について

n回微分について

f(x) = e^xcosxのn回微分の導出方法がわかりません。

参考書に解答はのっているのですが、導出過程が書かれていなくどのように展開すればいいのかがわかりません。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2010/06/28 02:18

こんにちは。

私は面倒くさがり屋なので、こうやります。

以下、Ｒｅは複素数の実数部分を表す記号です。

ｘ、ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）が実数として
ｆ（ｘ）　＝　Ｒｅ｛ｆ（ｘ）　＋　ｉｇ（ｘ）｝
と置くと、
ｆ’（ｘ）　＝　Ｒｅ（ｆ’（ｘ）　＋　ｉｇ’（ｘ））
であることを利用して

cosｘ　＝　Ｒｅ（cosｘ　＋　ｉsinｘ）　＝　Ｒｅ（ｅ^(ix)）

ｆ（ｘ）　＝　Ｒｅ（ｅ^x・ｅ^(ix)）　＝　Ｒｅ（ｅ^((1+i)x)）
ｆ’（ｘ）　＝　Ｒｅ｛　（１＋ｉ）ｅ^(1+i)x　｝
ｆ’’（ｘ）　＝　Ｒｅ｛　（１＋ｉ）^2・ｅ^(1+i)x　｝
ｆ’’’（ｘ）　＝　Ｒｅ｛　（１＋ｉ）^3・ｅ^(1+i)x　｝
ｆ’’’’（ｘ）　＝　Ｒｅ｛　（１＋ｉ）^4・ｅ^(1+i)x　｝

つまり、
ｆのｎ回微分　＝　Ｒｅ｛　（１＋ｉ）^n・ｅ^(1+i)x　｝

ここで、
１＋ｉ　＝　√２・（１／√２　＋　ｉ／√２）　＝　√２・ｅ^(iπ/4)
（１＋ｉ）^n　＝　√２^n・ｅ^(inπ/4)
なので、
ｆのｎ回微分　＝　Ｒｅ｛　√２^n・ｅ^(inπ/4)・ｅ^(1+i)x　｝
　＝　Ｒｅ｛　√２^n・ｅ^(inπ/4 + (1+i)x　｝
　＝　Ｒｅ｛　√２^n・ｅ^(inπ/4 + x + ix)　｝
　＝　Ｒｅ｛　√２^n・ｅ^x・ｅ^i(x + nπ/4)　｝
　＝　Ｒｅ［　√２^n・ｅ^x・｛cos(x + nπ/4)＋ｉsin(x + nπ/4)｝　］
　＝　√２^n・ｅ^x・cos(x + nπ/4)

No.2 回答者： Hyokko_Lin 回答日時： 2010/06/28 01:47

同じような質問が既にありますね。

http://okwave.jp/qa/q5191607.html

場合分けを許容するなら、4回微分して、
f(4)(x)=-4*(e^x)*cos(x)=-4f(x)
になるので、
n=4k、4k+1、4k+2、4k+3の時の導関数を表してあげればいいでしょう。

一つの式で書きたいのなら、
上のリンク先のNo.3の方が書いているように、
1回微分の式で三角関数を合成し、位相がπ/4進んだcosで表わしてあげれば、
n回微分も表現できます。

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2010/06/28 01:30

まずは手を動かして、10回微分くらいまでを計算してみたら。

何か見えてきますよ。