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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
私は面倒くさがり屋なので、こうやります。
以下、Reは複素数の実数部分を表す記号です。
x、f(x)、g(x)が実数として
f(x) = Re{f(x) + ig(x)}
と置くと、
f’(x) = Re(f’(x) + ig’(x))
であることを利用して
cosx = Re(cosx + isinx) = Re(e^(ix))
f(x) = Re(e^x・e^(ix)) = Re(e^((1+i)x))
f’(x) = Re{ (1+i)e^(1+i)x }
f’’(x) = Re{ (1+i)^2・e^(1+i)x }
f’’’(x) = Re{ (1+i)^3・e^(1+i)x }
f’’’’(x) = Re{ (1+i)^4・e^(1+i)x }
つまり、
fのn回微分 = Re{ (1+i)^n・e^(1+i)x }
ここで、
1+i = √2・(1/√2 + i/√2) = √2・e^(iπ/4)
(1+i)^n = √2^n・e^(inπ/4)
なので、
fのn回微分 = Re{ √2^n・e^(inπ/4)・e^(1+i)x }
= Re{ √2^n・e^(inπ/4 + (1+i)x }
= Re{ √2^n・e^(inπ/4 + x + ix) }
= Re{ √2^n・e^x・e^i(x + nπ/4) }
= Re[ √2^n・e^x・{cos(x + nπ/4)+isin(x + nπ/4)} ]
= √2^n・e^x・cos(x + nπ/4)
No.2
- 回答日時:
同じような質問が既にありますね。
http://okwave.jp/qa/q5191607.html
場合分けを許容するなら、4回微分して、
f(4)(x)=-4*(e^x)*cos(x)=-4f(x)
になるので、
n=4k、4k+1、4k+2、4k+3の時の導関数を表してあげればいいでしょう。
一つの式で書きたいのなら、
上のリンク先のNo.3の方が書いているように、
1回微分の式で三角関数を合成し、位相がπ/4進んだcosで表わしてあげれば、
n回微分も表現できます。
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