Borel集合の例

「実数直線R上のボレル集合体 B(R) は、R 内の任意の区間を含む最小の完全加法族である」のは正しいと思いますが、実数直線上の完全加法族で、B(R)を真に含んでいるものの例はあるのでしょうか？
(ただし、Rには通常の位相を入れるものとします。)

No.5 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2013/09/21 21:55

ANo.2です。

すでにANo.4で指摘されていますが、ボレル非可測なルベーグ可測集合の作り方は以下の通りです。
1. ルべーグ非可測集合を用意する(これには選択公理を使う)
2. カントール関数を使って1のルベーグ非可測集合をカントール集合の中に写像する
3. 2の像はカントール集合の部分集合なのでルベーグ測度ゼロ、従ってルベーグ可測になる
4. カントール関数は連続なので2の像はボレル可測ではない(これがボレル可測なら1もボレル可測になってしまう)

あと、検索したら非ボレル集合の構成方法がありました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%AC% …
ただこの例の集合がルベーグ可測かどうかは分かりません。

この回答へのお礼

何度も丁寧にお答えいただき、有り難うございました。
お陰様で、大変勉強になりました。

お礼日時：2013/09/22 21:39

No.4 回答者： berokanda 回答日時： 2013/09/20 23:09

http://math.stackexchange.com/questions/141017/l …

の回答をご参照ください。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
大変参考になりました！！

お礼日時：2013/09/22 21:39

No.3 回答者： ask-it-aurora 回答日時： 2013/09/20 20:46

< rinkunさん，横槍を入れてすいません．

僕はあまりこの手の話題に詳しくないのですが，数学辞典によるとルベーグ可測でない集合が存在して，(G. Vitaliによる)その構成法が選択公理を使うものだそうです．もしかするとこの例と勘違いされてませんか？（僕が無知なだけかもしれませんが…）

「cを連続体の濃度としたときRにおいてルベーグ可測な集合全体の濃度が2^c，ボレル集合族の濃度がcだから」という議論から存在することはわかるそうです．(やはりあまり詳しくないので責任ある発言ではありせんが…)

rinkunさんのいうような構成法も知られているのかもしれませんが，発見できなかったので，もし僕の無知による勘違いでしたら後学のために出典を明記してくれませんか？

この回答へのお礼

ご回答いただき、ありがとうございます。
私も勉強になります。

お礼日時：2013/09/22 21:41

No.2 回答者： rinkun 回答日時： 2013/09/20 19:10

具体的な例は無理と思います。

たしか、ルベーグ可測でボレル可測でない例は選択公理を仮定しないと作れなかったはずです。
# 選択公理を使う必要がある＝構成的には作れない

この回答へのお礼

有り難うございます。
(なるほど！！)

お礼日時：2013/09/22 21:42

No.1 回答者： rinkun 回答日時： 2013/09/20 13:12

ルベーグ可測集合族がその一例では？

ルベーグ可測でボレル可測でない集合が存在することからボレル集合族より真に大きな集合族であることは明白ですね。

この回答へのお礼

ご返事を頂き、有り難うございます。
ルべーグ積分に習熟していないため、初歩的な質問になり大変申し訳ありませんが、そのようなものを具体的に書き出すことはできるのでしょうか？

お礼日時：2013/09/20 15:09