ボレル集合体に含まれないRの部分集合

ボレル集合体に含まれないRの部分集合の具体例を教えていただきたいです。

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2006/09/16 21:54

ボレル集合体：

位相空間X上の開集合全体から構成される
完全加法族のこと

この定義ですよね．
そしたら，

R^n上のボレル集合族は
R^n上のルベーク可測集合全体の部分集合

という性質があるので
ルベーク可測ではない集合があれば
それはボレル集合族の元ではないことになります．

以下，可測＝ルベーク可測とします．
＃実際のところは，もうちょっと弱くて
＃多分，平行移動で普遍であればよいはずだけども

それじゃ非可測な集合の具体例は何だ？となりますが
これは Vitaliの定理とかいうのを
探してみてください．

非可測集合を具体的にこれだと示すことは
実は非現実的です．
なぜかというと・・・非可測集合の構成そのものに
選択公理とかツォルンの補題が顔を出すんです
たしか，選択公理なしで非可測集合は
構成できないよってというようなことが
証明されてるはずです．
このあたり，
あっという間にゲーデルさんがでてくる話に
到達するようですよ．

ここまで話を大きくしなくても
ボレルと可測の間のものを探せばいいじゃんと
なるかもしれませんが。。。
実はボレルと可測の間を探すのも
大差がない話だったような気がします．