集積点 孤立点 『Aに属する元で、Aの集積点でない点を孤立点という』 と習いましたが、孤立点は必ずA

集積点 孤立点


『Aに属する元で、Aの集積点でない点を孤立点という』
と習いましたが、孤立点は必ずAの要素(元)になっているけど、集積点はなっていなくてもよろしいのでしょうか？

例えば
ex)A＝(ｰ1,4)∪{100}について、
集積点の集合:［ｰ1,4］
Aの孤立点の集合:{100}。

この時、ｰ1はAの要素ではありませんが集積点の集合に含まれています。


また、100の真横にある数字(言葉だと表しにくいですが、99.99999･･･や、100.00000･･･1)は集積点に入らないのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 追記で失礼します。
  
  実数の有限集合は集積点をもたない。各点は孤立点となる。
  とはどういう事ですか？
  上の質問で示した
  
  ex)A＝(ｰ1,4)∪{100}について、
  集積点の集合:［ｰ1,4］
  
  のAも実数の有限集合ですよね、、？で、集積点の集合がありますよね、、、？
  頓珍漢なこと言ってる自覚はあるんですけど理解できません、どなたか解説ください、、、

    補足日時：2022/06/20 08:57

• 加えてボルツァーノワイエルシュトラスの定理
  『有界列には少なくとも1つの集積点が存在する』
  
  
  『実数の有限集合は集積点をもたない。』
  と真反対のこと述べていませんか？

    補足日時：2022/06/20 09:18

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/20 09:27

前半：

よろしいです。
他に { 1/n ｜ nは自然数 } は孤立点のみからなるが、
実数の中に集積点 0 を持つ
なんて例もありますね。

後半：
「真横にある数字」という言葉をきちんと定義しなければ、
質問が意味を持ちません。
実数が稠密だということは、真横なんて位置は無い
ということを意味しているような気はしますが。

追記：
その A は、有界集合ですが、有限集合ではありません。
有限集合とは、元の個数が有限な集合のことです。
A は、有界な範囲(例えば [-1,100] とか)に収まっていますが、
(-1,-4) の中には無限の元が在りますよね？

この回答へのお礼

あーーーーーー！！！なるほど……！たしかに稠密性から真横なんて数値はない……
(ｰ1，4)も稠密性から無限に元が存在しますね、、！！

有界列かつ有限集合みたいなのはありえないんですか？

お礼日時：2022/06/20 09:39

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/20 13:08

＞ 有界列かつ有限集合みたいなのはありえないんですか？

有界列の値は、常に有限集合です。
値の個数が有限個ですから。

この回答へのお礼

実数は

範囲を取った時点で
(稠密性より)無限集合になって集積点が存在することとなり、

ありものがたりさんの仰る様に
値とか各点の時は、
有限集合、そして孤立点となる！

ってことですね…！
一つ一つ解説していただきありがとうございました(T_T)！！！

お礼日時：2022/06/22 08:02

No.3 回答者： funoe 回答日時： 2022/06/20 12:15

項の数が有限で、ある項から先はない→有限列

　有限列なら、自動的に有界です。
　だって、有限個の中の一番大きいのと小さいのの間で全部の項があるから

有限列（有限集合）には集積点がない。
　だって、集積点って近くに無限に項（要素）があるって意味だもん。

項の数が無限なのに有界。
　無限に項があるのに、
　ある値より大きい項がなく、別のある値より小さいのもない。
　→こんなときには集積点があるっていっている。

「実数の有限集合」はたしかに有界。
だって有限個の中の一番大きいのと小さいのの間で全部の要素があるから


どうやら「有界」と「有限」をゴッチャにしているのでは？

この回答へのお礼

仰る通り、「有界」と「有限」をゴッチャにしてしまっていました、、
有界と有限無限、しっかり区別と理解できました……！！ありがとうございます！！！

お礼日時：2022/06/22 07:57

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/20 10:04

99.99999…

で
9が無限に続くのならば

99.99999…=100
と
なり
99.99999…=100
はAの孤立点です

a=100.00000･･･1
とすると
a=100.00000･･･1=100+10^(-n)
となる
自然数nがある

U(a)={x;|x-a|<10^(-n-1)}
とすると

|100-a|=10^(-n)>10^(-n-1)
だから

100はU(a)の要素ではない

U(a)∩A=φ
だから
a=100.00000･･･1
は
Aの集積点ではない

A＝(ｰ1,4)∪{100}について、
集積点の集合:［-1,4］

のAは実数の無限集合です

ボルツァーノワイエルシュトラスの定理
『有界(無限)列には少なくとも1つの集積点が存在する』
です

この回答へのお礼

かんっっっぺきに理解できました！！！！

お礼日時：2022/06/22 07:55