有理数もペアノの公理を満たす？

Question

ペアノの公理を満たすものを自然数と言うそうですが、
私は可算無限集合ならペアノの公理を満たすと思います。

そうすると、有理数も可算無限集合なので、
有理数は自然数となってしまいます。

有理数は自然数でないので、
ペアノの公理を満たさない筈ですが、
ペアノの公理を満たさないと何故言えるのか分かりません。
何方か教えていただけないでしょうか？

私の言っているペアノの公理は、
　集合N，N の元e，写像φ : N → N　が、
　　(1) φ は単射である
　　(2) φ(N) ⊂ N＼{e}
　　(3) M ⊂ N ∧ e ∈ M ∧ φ(M) ⊂ M　⇒　M = N
です。

(1)と(2)を満たす写像φを定義でき、
∃e ∈ N；φ(N) = N＼{e}である。
と解釈しています。

stomachman · Accepted Answer

いろいろ、変わった意見も出ているようですが…

もちろん、ある集合Vがペアノの公理を満たすというだけなら、0,1=φ(0),2=φ(φ(0)),…以外にいろんな別のもの、たとえば φ({φ(0)}), φ(φ({φ(0)})), … を含んでいても良い。（このVはNと同型ではありません。)ですが、ペアノの公理を満たすような集合全部の共通部分Nが存在して、それこそが、直感的な意味での自然数の集合なんですヨ。
　すなわち、直感的な「0,1,2,…だけの集合」という意味での自然数の集合というのは、定理
　　∃! N ( P(N) ∧ (∀V (P(V)⇒ (N ⊂ V)))
を証明することによってただひとつ存在することが示されるNのこと、として定義するんです。ただし、この中に出て来るP(V)という述語は「Vはペアノの公理を満たす」って意味です。
　この定理は、いわば「P(V)を満たす集合Vのうちで『最小』のものNがただひとつ存在する」ということを言っているわけです。

stomachman · Answer

No.9へのコメントについてです。

>１．eとΦを決めることが出来る集合の元が自然数ですか？
　　それとも、決めてやった瞬間に自然数になるということですか？

Φがどういうものなのかを考えると、「eとΦを決めることが出来る集合」という概念は意味を持たないことが分かります。というのは、Φを普通の意味での関数（すなわち、ある集合Aからある集合Bへの一意的な写像。要するに、集合Aの要素aと集合Bの要素bの対<a,b>の集合）だと思うと、Φの定義域として既にある決まった集合A（この話の場合なら、自然数N）が存在していることが、「Φを決める」ための前提条件となります。その集合Aの存在を証明しようというときに、これじゃ話にならない。なので、公理論的集合論では集合の公理が保証している操作だけを使って、たとえば
　　e = { }
　　Φ(x) = x∪{x}
とやってる訳です。これは上記の「普通の意味での関数」ではありません。

> 決めてやった瞬間に自然数になる

ってのも、あかたも「自然数」という概念が「自然数」の定義に先行して存在しているようなへんてこな話になっている。（このへんてこさは、このご質問に一貫しています。どうも、ここんところの混乱が、ご質問の根本にあるような気がしているんです。）
　どういう「数学」を念頭にして仰っているのかが曖昧なのですが：

(a) 「ペアノの公理系」を本当に公理として採用する「数学」においては、「「ペアノの公理系」を満たすような、そういうものがあるとしたら、さてどうなるか」というのがその「数学」の中身なんですから、Φやeの実体を決める必要がない。それらが存在するかどうかも問う必要はないばかりか、そもそも問うことができない。矛盾が出て来ない限り、公理を疑う（「『そういうものがあるとしたら』というけど、で、そういうものがあるの？」ということについて考察する）必要はない。そういう事情だから、「決めてやった瞬間に自然数になる」という概念が意味を持つはずもありません。

(b) 一方、公理論的集合論(ZF公理系)の観点では、「ペアノの公理系」は集合に関する一つの条件（述語）に過ぎません。そして、「ペアノの公理系を満たす集合が存在する」こと、さらに「ペアノの公理系を満たす集合の内で『最小』のものが唯一存在する」ことが、集合の公理系に含意されている。その「唯一存在する」やつは、（定義に先行して存在している概念である）「素朴な算数の意味での自然数」とはひとまず別物と思わねばなりません。
　さらに、「素朴な算数の意味での自然数」という概念は、ただの集合の話じゃなくて、その上での演算や関係までセットにした、ひとつの代数系を指していることに注意が必要です。（たとえば、「0は最小の自然数ですか？」という質問は、集合としての自然数においては意味を持たず、代数系としての自然数においてはじめて意味があります。）ペアノの公理系を満たすというだけでは、集合しか決まりません。この集合の上での代数系であって、しかもそれが「素朴な算数の意味での自然数」と同じ性質を持つようなもの、の存在（「存在」とはつまり「集合の公理系に含意されている」ということであって、「この宇宙に実在する云々」とは別の話）を証明することによって、この代数系が「素朴な算数の意味での自然数」と同一視できる訳です。
　では、代数系としての自然数のミニマムは何かというと、「数え上げ、すなわちある自然数nの次の自然数」という演算を定義することと「数え上げの出発点になる元」を決めることである。その都合に合う集合を選び出せるように、Φ(n) とeを使った条件（ペアノ公理）を書いた訳です。

さて、一連のご質問では、「ペアノの公理系」を、『適当なeとΦが存在しさえすればそれを「ペアノの公理系」と呼んでいい』という風に捉えていらっしゃる。（さもなければ、「eとΦを決めることが出来る集合」という文言が出て来る筈がない。）ですから、ご質問は(b)に近いスタンスの話だろうと思います。しかし(b)では通常、最初に書いたように特定のeとΦを使います。それは「eとΦとして他にどんなのが使えるか」という検討をしてみたところで（欲しいのは「素朴な算数の意味での自然数」と同一視できる代数系であって、それさえ満たせば足りるので）何も得るものがないからです。（もちろん、別のやり方を考えたって構わん訳です。例えば超準解析学を、拡張された自然数（超自然数）をまず定義して、その部分集合として自然数を定義する、という風に書き換えることができるでしょうけれども、そうしたからと言って何か新しいことが出て来る訳ではない。）

> ２．具体例として、有理数はペアノの公理を満たしますか？

このご質問も「有理数」が先にあるかのようなおかしな話であることを、まず指摘しておきます。そのおかしな話に乗っかって話をしますと、有理数を整列して自然数と1:1に対応させられる。そこで、自然数から有理数への1:1写像（これをξとします）とその逆（これをηとします）を使って
　　e' = ξ(0)
　　Φ'(x) = ξ(Φ(η(x)))
とすれば、明らかに「ペアノの公理系のeをe'で、ΦをΦ'で置き換えたもの」を満たす。もっと別のΦ'の作り方もあるでしょうけど。

stomachman · Answer

ANo.8へのコメントについてです。

> ところで、ここで言っている自然数の定義はなんですか？

No.6の通りですよ。

stomachman · Answer

No.7へのコメントについてです。

> まあ、－１まで含んでしまうと乗法に”矛盾性”がありそうですね。

自然数を定義しただけじゃ、足し算も掛け算も数の大小もまだありません。そういうことはペアノの公理系には含まれていませんので。

つまり、自然数が0から始まろうが、-1から始まろうが、1000から始まろうが、そんなことには関係なく、足し算や掛け算や大小関係が欲しいのなら、（ペアノの公理系とは別に）それらを定義してやらねばならないんです。その定義自身にさえ矛盾がなければ、矛盾なんざ生じません。

さて、自然数の上での足し算・掛け算・大小関係が「フツーの足し算、掛け算、大小関係」と一致するように定義したいと望むのであれば、そうすれば良い。自然数が0から始まっていれば単純明快に定義が書けます。けれども、そうでない場合でももちろん定義は可能である。面倒で長ったらしくて「キタナイ」定義になっちゃうけれども、ともかく、矛盾なく、しかも「フツーの足し算、掛け算、大小関係」と一致するように定義できます。
（ひとつの、あまり利口でないやり方は、たとえば自然数Nを1000から始めちゃった場合には、0から999までを別の有限集合Mとして用意して、Mの個々の要素について、他のMの要素およびNの全ての要素との間の足し算・掛け算・大小関係をそれぞれ定義する。1から始めたのならM={0}を追加する。-1から始めたのなら-1を特別扱いする。また別のやり方は、自然数Nの最初の要素eが何であれ、eを零元とする足し算を定義してしまう。それから、eを改めて「零」と読み替え、φ(e)を「壱」と読み替える…、ということをやって、以後はもっぱら{零,壱, 弐, …}を使う、というやり方。）

むろん、「フツーの足し算、掛け算、大小関係」と一致させる気なんざないということなら、どうとでも勝手に定義すればいいんです。

stomachman · Answer

ANo.6へのコメントについてです。
> Ｎ＝ＶでないＶ、例えば何ですか？

ANo.6に「いろんな別のもの」の例を書いてあります。

>>『最小』のものNがただひとつ存在する」
 > この考え方だと、”０”は自然数でしょうか？

どっちでもご自由に。「『最小』のものNがただひとつ存在する」という話は、「最小の自然数は0？」という話とは全く何の関係ありませんから。
　再度コトバで説明しますと、『最小』というのは、「φを具体的に決めたとき、Nの部分集合Xは、N≠Xなら、ペアノの公理系を満たさない」って意味です。数の大小のことじゃありません。（「偶数の集合GはNと一緒」とか言い出す人の為に先に説明しておくと、φが固定なら、Gはペアノの公理系を満たしていない。ペアノの公理系のφをφφに取り替えたものをペアノの公理系*とする、ということをやってようやくGもペアノの公理系* を満たす。）
　「ペアノの公理系」をそのまま公理として採用するか、それとも無限公理から導かれる定理とするか（前者なら集合論との無矛盾性を示す必要があり、後者なら「ペアノの公理系」という定理の証明が必要ですが）、いずれにせよ「ペアノの公理系」が集合論と矛盾しない命題になっていれば後は全く同じことです。だから、「0が含まれるかどうか」なんざ全く何の関わりもありません。

kabaokaba · Answer

NO.3です

たぶん，「同じということは何か」ということを理解してないんです

>「ゼロは自然数でない」と認めれば、数学の専門家なら誰でも
>のようです、

これは違う．0から始めるかはまったく本質ではないし，
「自然数はひとつ」というのは
「同型をのぞいてひとつ」というのが
「数学の専門家なら誰でも」の言い方です．

群の言葉を知ってるようなので，いいますと
元が一つのみの群は「ただ一つ」
元が二つのみの群は「ただ一つ」
元が三つのみの群は「ただ一つ」
元が四つのみの群は「二つ」
・・・
こういうのは全部「同型のものは同じ」とみなして数えるんです．
これが何も注意書きがない場合の数学での数え方です

>加法の零元、乗法の単位元
>多分、この辺が鍵だと思っているのですけど。

まったく違うでしょう．
自然数を構築してそこに演算を定義するのは
自然数が出来上がって始めてできることで
自然数の存在にこのような代数構造が関与することはありません．

すでに指摘されているように
自然数は「ある種の集合」と「後継写像」と呼ばれる写像のペアであり
その（ペアノ公理系による）構成上，「一意に」決まるのです．
ただし，一意というのは「同じ構造のものは同じ」ということの上です．
「一意に決まる」というのは，「数学的帰納法」そのものです．

funoe · Answer

ある集合があって、その集合とその上で定義されたφとをセットにして「自然数」なわけですよね。
ご指摘のとおり、俗に有理数と呼ばれている元の集合の上に適当なφを定義すればペアノの公理を満たします。

でもぉ・・・、
自然数を定義したのち、その「自然数」の上で、加法や大小関係を定義しますが、

def：　x+1＝φ(x)
また、
　∃ｘ　a+x=b　⇔　a<b

あなたが、いま心の中で想像している「集合とφ」で、このような加法や大小関係は、「心情的になじむ」ものですか。
たとえば、　　2/5＋1＝1/7
　　　　　　　　50/3＜-8/11　　てなことに。

(よく知られている有理数の大小関係を維持できるφは存在しませんしねぇ）

---
いや、もちろん、ドライに、この定義を押し通すことができるのは承知していますよ。
でもそれは、先の皆様がおっしゃている「同一視」ってヤツですよね。

kabaokaba · Answer

どこかに「ペアノ公理系」を満たす集合は
「自然数のみ」だなんて言及してるんですか？

有理数なんかを持ち出すまでもなく
「正の偶数全体」とか「正の3の倍数」とか
自然数全体の「真の部分集合」にだって
ペアノ公理系をみたすものなんてたくさんあります．

ぶっちゃけ「各項がすべて異なる数列」であれば
なんだっていいんじゃないのかな
ペアノ公理系の本質は
「最初」があって，「次」があって
数学的帰納法が成り立てばいいってことなんだから．

＃ここらの「集合として一意に自然数をさだめない」というのは
＃なんかの雑誌でみたような記憶はあります．

大事なのは
「集合としては違っていても構造としては同じものは同じと考える」
という数学全体に共通した考えであるところの「同型」と
「同じ」ということをどのように定めるかということでしょう．
「数の構築」という面からみれば
ペアノ公理系で作られる「体系」は「同じ」としていいという話なら
きっとどこかに書いてある・・・というか，
同じ数学が構築できる．
ここらは。。。きっとゲーデル数とか，帰納法のいろいろな変種を
まじめに扱っている本にはきっとでてるんじゃないかなー

alice_44 · Answer

有理整数に埋め込むとき、同じになってしまうからねえ。

rinkun · Answer

有理数のときのφはどんな関数ですか。具体化してください。
もしかしてあなたの主張は「有理数を有理数として扱わず単なる可算無限集合として自然数と一対一に対応させればペアノの公理系を満たす」ということですか。
その主張なら真ですが、単に自然数を扱うのと同じです。何ら意味を見出せませんね。

有理数もペアノの公理を満たす？

いろいろ、変わった意見も出ているようですが…

この回答への補足

No.9へのコメントについてです。

ANo.8へのコメントについてです。

No.7へのコメントについてです。

ANo.6へのコメントについてです。

NO.3です

ある集合があって、その集合とその上で定義されたφとをセットにして「自然数」なわけですよね。

どこかに「ペアノ公理系」を満たす集合は

有理整数に埋め込むとき、同じになってしまうからねえ。

有理数のときのφはどんな関数ですか。

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