無限集合に離散距離を入れた空間は全有界ではないことの証明のヒントを教えて下さい。

無限集合に離散距離を入れた空間は全有界ではないことの証明のヒントを教えて下さい。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/01 17:31

距離空間(X,d)

に対して
全ての実数ε>0に対して
有限n個の
{a_1,a_2,…,a_n}⊂X
が存在して
X=∪_{k=1～n}{x|d(x,a_k)<ε}
となる時
Xは全有界という

無限集合Xに対して
X上の離散距離dは
x,y∈Xに対して
x≠yの時d(x,y)=1
x=yの時d(x,y)=0
で与えられる

a∈X
に対して
{x|d(x,a)<1/2}={a}

X=∪_{a∈X}{x|d(x,a)<1/2}=∪_{a∈X}{a}

Xは有限個の{x|d(x,a)<1/2}で覆うことができない

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2021/08/01 18:56