証明してください。

2つの離れた質点で、質量がMの質点とmの質点との間に働く万有引力は、
f=GMm/(ｒ^2)
だと言います。
(Gは重力定数、ｒは質点どうしの距離)

現実問題としては、質点というのは存在しません。体積があります。

そこで、
上記の式が正しいとすると、
2つの物体に働く力として、ｒは有限の大きさを持つ物体の重心どうしの距離と力の関係式としても成立しますか。

そうだとしたら
最も単純な例として、物体の形がどちらも大きさを持った球だとした場合に、どうして上記の式が成立するか、証明できますか。
(質点どうしだと、上記の式は成立するとします)

質問者からの補足コメント

• こちらは質点とします。
  また、相手の球の半径はDとします。
  
  相手の、こちらから、最も近い部分と最も遠い部分の1kgの質量の部分に働く力を考えます。
  
  相手の最も遠い部分の距離はｒ+Dで、最も近い部分は、ｒ-Dです。
  中間はｒです。
  
  最も遠い部分の引力
  Gm/((ｒ+D)^2)
  最も近い部分の引力
  Gm/((ｒ-D)^2)
  
  これの合力(足し算)が、両者の真ん中にある2kgの部分の自分に対する引力と等しいは思えません。
  真ん中に2kgの部分があるとして、そのの引力は、
  2Gm/(ｒ^2)です。
  
  上の2つの式を足しても、この式にはなりません。
  
  どういうことですか。

    補足日時：2023/05/27 21:24

No.9 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/05/28 00:34

>これの合力(足し算)が、両者の真ん中にある2kgの部分の自分に対する引力と>等しいは思えません。

なんで両瑞の1kgと真ん中の2kg比較？？？
意味不明です。

訳の解らんことやらずに、素直に球全体からの重力を地道に計算しましょう。

めんどくさいのでサイト紹介。
地道な計算の例
https://physnotes.jp/mechanics/shell_theorem/

こんなことしなくてもガウスの定理で一瞬なんですけど
一度地道な証明に触れるのを良いと思います。

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/05/29 09:44

>ところで、重心に質量が集中した質点とみなして引力の計算ができるのは、>球対称の物体だけですか。

わかりません。
重力場が球対称になる、球対称でない密度分布なんてありますかね？
直観的にはなさそうです。
剛体の特定方向、位置ではあり得るかもしれませんが
考察したことありません。

>例えば、1kgの物体と1kgの物体を質量のない
>長さDの伸縮しない棒でつなげたような物体でも成立しますか。

2質点を棒でつなぐイメージ？
これは重力場が球対称にならないので、同じにはなりません。
特定の方向、位置ならあるやもしれないけど未考察です。
無理っぽいけど。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/05/27 21:51

面白い観点だけど、話を現実にふりすぎかな~。

まずは弾性率は充分大きい剛体(応力ポテンシャルは小さくなるので無視)
というモデルで考察してから、柔らさの影響(潮汐カによる変形の影響)
を考えるという順に考えるのが良いと思う。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/27 21:50

＞ どういうことですか。

だから、2球体間に働く重力は、
両者を質点で近似した場合の重力とは異なるんですよ。
球体がほぼ点とみなせる大きさでないときには、
質点では近似できないということです。
球体がほぼ点とみなせる大きさであれば、
質点では近似しても誤差は少ないのですが。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/27 18:17

残念ながら、密度一様な球体間の重力は

両球体を質点で近似した場合の重力とは一致しない。
ガウスの定理を使って、
一方の球体を質点に置き換えた場合の重力場が
もとの球体が作る重力場と一致することは導ける。しかし、
その重力場に置くほうの球体が質点では置き換えられない。
一様でない力場に置かれた剛体は
内部に歪みのエネルギー(応力ポテンシャル)を溜め込むため、
質点と同じ力学的エネルギー保存則にはならない。
エネルギー保存則を時間微分したものが運動方程式だから、
物体が力場から受ける力も違ってくる。
球体の各点が受ける力を積分する計算をやってみるまでもない。

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/27 01:45

聖鬼さん、なんで、つっこまないの。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/05/27 00:33

>2つの物体に働く力として、

>ｒは有限の大きさを持つ物体の重心どうしの
>距離と力の関係式としても成立しますか。

しません。

>物体の形がどちらも大きさを持った球だとした場合に、
>どうして上記の式が成立するか、証明できますか。

球の密度分布が球対称なら、中心間距離と球の質量を
そのまま質点同士の万有引力の式にいれれば
球同士の万有引力は求まります。

証明の概略

球と質点間の万有引力が
球の中心と質点間の距離と球の質量と質点の質量
から質点間と同様に計算できるのは、
地道に積分しても出てくるし
ガウスの定理を使えば一瞬です。

球の重カ場の中に置いた球の受ける力は
球の重カ場が、ガウスの定理から質点の重カ場と
同じ形なることから、質点と球の場合と同じになります。
つまり、個々の球の質量と球の中心間の距離を
質点間の万有引力の式に入れれば、万有引力は求まります。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/26 21:53

密度分布ρ(x0,y0,z0)について、ρ(x0,y0,z0)>0となる領域が物体を表しているものと考えるんです。

ρ＞0である一つの点(x0,y0,z0)が位置(x,y,z)に作るポテンシャルをp(x0,y0,z0, x,y,z)とすると、(x,y,z)におけるポテンシャルP(x,y,z)は
　　P(x,y,z) = ∫∫∫p(x0,y0,z0, x,y,z)ρ(x0,y0,z0) dx0 dy0 dz0
です。これを計算すると、外側の点(x,y,z)においては、ρ(x0,y0,z0)の重心に全質量が集まっている場合と一致することが証明できる、というわけです。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/26 21:45

あたりまえだが「物体」の形状や密度分布による.