ボレル可測集合、外測度の範囲です。 10進展開した時にある数字が全く出てこない実数∈[0,1]の全体

ボレル可測集合、外測度の範囲です。
10進展開した時にある数字が全く出てこない実数∈[0,1]の全体は零集合であることを詳しく証明して欲しいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/27 14:51

カントール集合だねえ。

出てこない数字を d としよう。
半閉半開区間 [0,1) の中で、小数第 k 位に初めて d が現れる数の集合は、
k 個の半閉半開区間からなり、それらの幅の合計は { (9/10)^(k-1) }(1/10).
よって、どこかの位に d が現れる数の集合の幅の合計は
w = Σ[k=1→∞] { (9/10)^(k-1) }(1/10) = (1/10)/{ 1 - (9/10) } = 1.
d が現れない数の集合の幅の合計は、1 - w = 0.

この回答へのお礼

とても分かりやすかったです。ありがとうございました！

お礼日時：2020/06/27 17:33