集合が先か、元が先か？

Question

専門的には二つの場合で何か違うことがあるのでしょうか。やさしく説明をお願いできますか？日常生活では両方の場合があるようにも思うのですが・・・

mathsan · Accepted Answer

専門的立場 ということを 数学的基礎論(とくに公理的集合論)の立場 という意味で説明します。
まず、公理的集合論の前提となる知識は命題論理、述語論理です。
公理的集合論では、集合に関する規定をまず定めます。
その規定は2～3orもっと種類ほどありますが、
それはともかくとして、普通 10 個のパーツから成り立っている公理系です。
それによると集合というものがとりあえずあって
集合同士に元として含まれるか否かの関係 "∈" が規定されます。
この規定を用いて、はじめて元という概念が規定されると思います。
そう考えると 少なくても 公理的集合論の立場からすると
集合 → ∈の関係，元  という順番になるのでは

yuntanach · Answer

専門家ではないですが、集合と元はそれこそ卵と鶏の関係にあり、どちらかが先であるということではないのではないでしょうか。

公理的集合論などですと、まず、「集合」と「元」に対して「(元が集合に)属する／要素である」という関係があることを前提し、各種公理によって集合論の体系を構築していきます。この「属する／要素である」という関係は単に「a∈b」と表記することだけが前提され、その意味は外延性の公理や分出公理(後に選択公理で置き換わる)などで決められます。
ですから、集合の概念と元の概念はどちらかがどちらかによって定義されるということではなく、「属する／要素である」という関係でもってその両方が同時にできあがるものではないかと思います。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96

mathsan · Answer

先ほどの回答の補足をします。
公理的集合論の立場では,
集合 → 属するの関係,元 と言いましたが,
新たに
元 → { },集合
となるような理論を作ることも実際は可能であるような気がしなくはありません。
ですが、正直申しまして,その辺については,私には分かりません。
ですが、仮に作ることができたとしても公理的集合論の方が非常に簡潔にまとまったものになるような気がします。
それが 公理的集合論が主として採用されている理由だと思います。

liar_adan · Answer

疑問に思っているのはおそらく
「内包的定義」と「外延的定義」の違いについてではないかと思います。
簡単には、
「条件に合う物を集合と見なす」のを、集合の内包的定義、
「ひとつひとつの要素を集めて集合とする」のが外報的定義です。
これが「集合が先」「元が先」に対応するのではないでしょうか。
(参考URLの「外延と内包」のところを見てください)

数学では、集合定義において、
内包的定義も外延的定義も特に区別していません。
もっともたしかに、二つの方式の定義を一緒にすることで、
学習時において多少の違和感を感じたことはあります。
ですが区別しなくても、ほとんど問題になりません。

しかし、区別しないことでまずいことが起こる場合もあります。
集合論の中で、パラドックスがいくつか発見されたのです。
たとえば「集合Aを『自分で自分を含まない集合の集合』とする。
集合A自身は集合Aに含まれるか？」
という問題があります。(ラッセルのパラドックス)
ややこしくなるけれど、「含む」としても、「含まない」としても、矛盾が起きるのです。
この矛盾を調停するために、「数学基礎論」という学問分野ができました。
これ以上は難解なので私もわかりません。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E7%BE%A9

集合が先か、元が先か？

専門的立場 ということを 数学的基礎論(とくに公理的集合論)の立場 という意味で説明します。

専門家ではないですが、集合と元はそれこそ卵と鶏の関係にあり、どちらかが先であるということではないのではないでしょうか。

先ほどの回答の補足をします。

疑問に思っているのはおそらく

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専門的立場ということを数学的基礎論(とくに公理的集合論)の立場という意味で説明します。