集合について。

Aを100以下の自然数の集合とする． また，50以下の自然数kに対し， Aの要素でその奇数の約数のうち最大のものが2k-1となるものからなる集合Akをとする． このとき,次の問いに答えよ. ①Akを求めよ． ②Aの各要素は， A1からA50までの50個の集合のうちのいずれか1つに属することを示せ． ③Aの部分集合Bが51個の要素からなるとき， y/xが整数となるようなBの異なる要素x.yが存在することを示せ． ④50個の要素からなるAの部分集合Cで， その中にy/xが整数となるような異なる要素x.yが 存在しないものを1つ求めよ.この問題をご教授頂けると幸いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/03/29 07:53

①

[1] A₁={1,2,4,8,16,32,64}
[2] A₂={3,6,12,24,48,96}
[3] A₃={5,10,20,40,80}
[4] 4≦k≦6 のとき、AK={2k-1,2(2k-1),4(2k-1),8(2k-1)}
[5] 7≦k≦13 のとき、AK={2k-1 , 2(2k-1),4(2k-1)}
[6] 14≦k≦25 のとき、AK={2k-1,2(2k-1)}
[7] 26≦k≦50 のとき、AK={2k-1}

② 1≦j≦50
奇数 2j-1∈Ak (k=j)
1≦2j-1≦99 より、1≦2k-1≦99
よって、1≦k≦50

偶数 2j
2j を商が奇数になるまで２で割る続ける。
２でｎ回割ったとき商が奇数になったとすると、
2j=2^n・(2k-1)
と表される。
2j∈Ak (2j=2^n・(2k-1))
2≦2j≦100 より、1≦2k-1≦99
よって、1≦k≦50

③ Aの部分集合Bが51個の要素からなるとき、あるｋに対して、x∈AK , y∈AK
x=2^m・(2k-1)
y=2^n・(2k-1)
と表されるので、x<y とすると m<n
y/x={2^n・(2k-1)}/{2^m・(2k-1)}
=2^(n-m)
n-m>0 より、y/x は整数となる。

⓸ C={51,52,53,………,100}

この回答へのお礼

④について、もう少し詳しくご教授頂けると幸いです。すみませんが。

お礼日時：2021/03/30 06:26