有理数の判定方法

実数の集合から、その要素をひとつ選びます。
その一つが有理数であるか無理数であるか判定する方法はございますか？

もし、必ず判定できる方法があれば、その概要、あるいはその方法の名称などをご教示ください。
どうぞ宜しくお頼み申し上げ候。

No.8 ベストアンサー 回答者： hitonomichi36 回答日時： 2018/03/13 16:43

有理数はもちろん代数的数である。

故に代数的数でなければ（つまり超越数であれば）無理数であるに決まっている。
しかし実数の集合から、適当に選んできた数が代数的数なのか、超越数なのかを判別する方法は一般的には存在しません。
eやπが超越数であると判定されたが、それは無限に存在する超越数の中でたまたま超越数であることが証明されたに過ぎない。
任意に選んだ実数が代数的数であるか超越数であるか判定する一般的な方法は存在しない。
これはつまり任意に選んだ実数が有理数か無理数であるか判定する一般的な方法は存在しないことでもあるんじゃよ。

この回答へのお礼

はい。良く分かりました。

有難うございます。

加えて、「任意に選んだ代数的数が有理数か無理数かの判定」に関しても一般的方法が無いと理解してよろしいでございますか？

お礼日時：2018/03/13 16:47

No.13 回答者： stomachman 回答日時： 2018/03/14 13:40

No.11です。

　No.10に書いてある「有理数か無理数かを判定する一般的な方法はないような気がします」ということについて、計算可能性の理論における主題である「決定問題」（チューリングマシンの停止問題、ヒルベルトの第10問題でもいいですが）を応用すれば、任意の「有限の表現を持つ実数」について有理数か無理数かを判定する一般的な方法（アルゴリズム）が存在しないことの証明が結構容易に構成できそうに思います。

この回答へのお礼

Identifierが無いのだから、問いが成立しないと感げにゃいけんね。

有難うございました。

お礼日時：2018/03/15 10:20

No.12 回答者： sichtbare 回答日時： 2018/03/13 23:28

ドリーニュという数学者は「実数は難しい．我々はその理解から程遠い」といったそうです。

この回答へのお礼

同感です。

連続体無限集合で、現代集合論を確立したゲオルグ・カントールも晩年は発狂してしまいましたしね。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2018/03/14 10:59

No.11 回答者： stomachman 回答日時： 2018/03/13 22:04

0と1の間にある実数だけを考えるとして、有限の文字数で定義が書ける数、（別の言い方をすれば、「（無限に時間が掛かってもいいから）その数の小数表示を出力するプログラム」が存在する数）は可算無限個しかない。

つまり、ほとんどすべての実数は、定義もしくはその小数表示を与える方法がありません。すなわち、「ひとつ選び」って言っても「はい、これを選んだよ」と提示することがそもそもできない数がほとんどなのです。ちうわけで、No.3の質問こそが本質的ポイントを突いている。
　で、No.10は「有限の文字数で定義が書ける数に限定してすら」という話ですよね。

この回答へのお礼

実数には一般にidentifierが存在しないと言う事ですね。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2018/03/13 22:11

No.10 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/03/13 17:16

有理数か無理数かを判定する一般的な方法はないような気がします (少なくとも現時点では知られていない). #8 の議論 (特に最後の 1行) はさすがに乱暴だけど.

以下は余談.

円周率の無理数性は
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8 …
によるとルジャンドル. リンデマンは超越数である (つまり代数的でない) ことを示した.

√10223 が無理数であることは割と簡単ですね. 「整数でない」時点で終わり.

この回答へのお礼

有理数と無理数は、その定義があるのに、個別具体的な数に関しては判定不能というのは、不思議ですね。他の数学的問題でも同様の「不決定性」は生じるのでしょうか。

従来、判定する術が無いという状態は、定義が不十分（冗長）ということなのかと思っておりましたが、本件では、そうではない様で、この質問で明らか何なった事実の位置づけに苦慮しております。

お礼日時：2018/03/13 22:14

No.9 回答者： hitonomichi36 回答日時： 2018/03/13 17:15

＞加えて、「任意に選んだ代数的数が有理数か無理数かの判定」に関しても一般的方法が無いと理解してよろしいでございますか？

これについては1つヒントをあげよー。
かつてガウスはこんなことを言っていた。
「任意の代数方程式は必ず複素数の範囲で解を持つ」と。
一方、アーベルはこんなことを言った。
「5次以上の代数方程式は一般に代数的に解けない」と。
今日では、ガウスの主張もアーベルの主張も両方正しいことが判っている。
ではガウスの主張とアーベルの主張は何がどー違うのか自分で一度よく考えてみると良い。

この回答へのお礼

そのヒントは、折角貰っても猫に小判、木造にガウスでござる。

お礼日時：2018/03/13 22:15

No.7 回答者： hitonomichi36 回答日時： 2018/03/13 15:45

√２は無理数だけど、代数的数といってこれが無理数であることは簡単に分かります。

一方πは無理数だけど、代数的数ではない超越数といってこれが無理数であることを証明することは非常に難しいがリンデマンによってやっと証明された。
無理数の殆ど全ては超越数なので、無理数であることが証明されたものはほんとーにたまたまなんじゃよ。
これだけ考えても、実数の集合から、適当にその要素をひとつ選んできての一つが有理数であるか無理数であるか判定する一般的な方法は存在しないんじゃよ。

この回答へのお礼

回答有難うございます。

＞√２は無理数だけど、代数的数といってこれが無理数であることは簡単に分かります。

√ 10223が無理数であることはそう簡単にはわからんのとちゃいますか。10223が素数だという事実を発見しない限りにおいて。

＞πは無理数だけど、代数的数ではない超越数といってこれが無理数であることを証明することは非常に難しい

Πが超越数と判った時点で、無理数と判定されてんじゃないんかい？
ひょっとして、「ある実数が超越数であることの証明が難しい」と言いたくて、違う事を言っちゃったんですかい？


いずれにしても、回答ありがとうございます。
リンデマンとか検索ワードをいただきました。

お礼日時：2018/03/13 16:06

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2018/03/13 15:19

＞30万桁ぐらいで循環してる場合、その循環を発見する方法がありますか？

それを見分けなければならない必要性は、何ですか。
若し必要ならば、それを判別する方法は存在しないと云わざるを得ないと思います。
現実的には、一定桁数で打ち切って考えることで、充分目的が達せられると思いますが。

数に対する定義の問題と、取り扱いの問題を混同してませんか。

この回答へのお礼

有難うございました。

数学の問いに必要性があるか否かは哲学の問いですね。

お礼日時：2018/03/13 15:28

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2018/03/13 14:38

Ｎｏ２ です。

「循環する、或いは循環しないという判定」は実際に見れば解る事なのでは？

それから、「実数の集合から、その要素」ならば、当然数値の精度が問題になりますよね。
で、選んだ要素が有理数か無理数かで、何か変わりますか。
集合の性質からも、無理数が含まれる可能性があるか否かも判断できるのではないですか。

又、サンプリングの様な形で要素を取り出す場合は、無理数であっても一定の処で切って
有限の数として処理しますよね。

分数表示が出来れば 有理数、出来なければ 無理数、これではダメですか。

この回答へのお礼

有難うございます。

＞「循環する、或いは循環しないという判定」は実際に見れば解る事なのでは？

30万桁ぐらいで循環してる場合、その循環を発見する方法がありますか？


＞分数表示が出来れば 有理数、出来なければ 無理数、これではダメですか。

分子、或いは分母が巨大な素数で始めて分数表示可能な数が隠れている場合、どの様にして、この実数が分数表記可能と判定できますか？


判定方法をご存知でしたらご教示ください。

お礼日時：2018/03/13 14:46

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/03/13 13:56

「判定者が望むだけの桁数で」の「判定者」とは, 「有理数であるか無理数であるか判定する人」のことでいい? その場合プロトコルとしては

1. 判定者が「希望の桁数」を示す
2. その桁数分だけ判定者に提示する
3.判定者が有理数か無理数かを判定する
という形でしょうか?

この形だと, 有理数か無理数かを判定するのは不可能です. #2 の「お礼」欄では「有限小数は判定済みですから」とありますが, 有限小数かどうかすら判定できませんよ (小数点以下 2桁目から 10^1000桁目までず～っと 0 だったとしても, (10^1000+1)桁目が 0 であるという保証はありません).

この回答へのお礼

そうでしたね。

流石、Tacosan、仕事が早い（笑）。

提示形式に関して、特にこだわりはないので、「一つの無理数を表示可能な形式」では如何でしょうか。

そのような形式は考えられないですか？

お礼日時：2018/03/13 14:01