2重積分

∬tanxdxdy (範囲は２直線ｙ＝０、ｘ＝π/３と曲線ｙ＝tanx)
を計算して途中式を詳しく載せてください。

No.3 回答者： Meowth 回答日時： 2007/12/27 19:06

∬tanxdxdy (範囲は２直線ｙ＝０、ｘ＝π/３と曲線ｙ＝tanx)

=∫[0→π/3]tanx∫[y,tanx]ｄｙ
=∫[0→π/3](tanx)^2 dx
(tanx)'=1+(tanx)^2
から
(tanx-x)'=(tanx)^2
=[tanx-x][0→π/3]=√3-π/3

No.2 回答者： joggingman 回答日時： 2007/12/27 18:26

＞∫[0→π/3] 1/(cosx)^2 dx

＞は、t=tan(x/2)で置換すると、

ここは、置換積分です。
t=tan(x/2)とおくと、
1+t^2=1+(tan(x/2))^2=1/(cos(x/2))^2
cosx=2(cos(x/2))^2-1=2/(1+t^2) -1=(1-t^2)/(1+t^2)
dt=(dx/2)(1/(cos(x/2))^2)=(dx/2)(1+t^2)
dx=2dt/(1+t^2)
となるので、0=tan(0/2)、1/√3=tan(π/6)だから、
∫[0→π/3]1/(cosx)^2 dx
=∫[0→1/√3]　(1+t^2)^2/(1-t^2)^2*2dt/(1+t^2)
=∫[0→1/√3]　2(1+t^2)/(1-t^2)^2 dt
後は、これを部分分数に展開すると、
=∫[0→1/√3]{ 1/(1+t)^2　+1/(1-t)^2 }dt
おのおの1+t=s,1-t=sと置換して書き換えると、
=∫[1→(√3+1)/√3] 1/s^2 ds +∫[1→(√3-1)/√3] 1/s^2 (-ds)
=1-√3/(√3+1) +√3/(√3-1) -1
=(3+√3-3+√3)/2=√3
となります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2007/12/27 18:43

No.1 回答者： joggingman 回答日時： 2007/12/27 17:25

ｙから先に積分すると、

∫[0→π/3](tanx)dx∫[0→tanx]dy
=∫[0→π/3](tanx)^2 dx
=∫[0→π/3](sinx)^2/(cosx)^2 dx
=∫[0→π/3]{1-(cosx)^2}/(cosx)^2 dx
=∫[0→π/3]1/(cosx)^2 dx　-∫[0→π/3] dx
ここで、
∫[0→π/3] 1/(cosx)^2 dx
は、t=tan(x/2)で置換すると、cosx=(1-t^2)/(1+t^2),dx=2dt/(1+t^2)
だから、
∫[0→1/√3]2(1+t^2)/(1-t^2)^2 dt
=∫[0→1/√3]{ 1/(1+t)^2　+1/(1-t)^2 }dt
=∫[1→(√3+1)/√3] 1/s^2 ds +∫[1→(√3-1)/√3] 1/s^2 (-ds)
=1-√3/(√3+1) +√3/(√3-1) -1
=(3+√3-3+√3)/2=√3
よって、
√3 -π/3

この回答への補足

ｔ＝tan(x/2)で置換するところから理解できません。
どういうことですか？

補足日時：2007/12/27 17:45