数学

r=3cosθと、r=1+cosθで囲まれる面積を教えて下さい。

No.5 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/01/11 23:10

N0.3，No.4です。

再回答します。

０≦θ≦π/3のとき、　（3cosθ）^2－（1+cosθ）^2＝３＋4cos2θ－2cosθ
π/3≦θ≦π/2のとき、（1+cosθ）^2－（3cosθ）^2＝－３－4cos2θ＋2cosθ
π/2≦θ≦πのとき、　（1+cosθ）^2＝3/2＋2cosθ＋(1/2)cos2θ

積分１は、（１／２）×（－π/3≦θ≦π/3）（３＋4cos2θ－2cosθ）の積分ですが、
（１／２）×２×（0≦θ≦π/3）（３＋4cos2θ－2cosθ）として積分します。他も同じ。
積分１＝（０≦θ≦π/3）（３＋4cos2θ－2cosθ）＝π
積分２＝（π/3≦θ≦π/2）（－３－4cos2θ＋2cosθ）＝２－π/2
積分３＝（π/2≦θ≦π）（3/2＋2cosθ＋(1/2)cos2θ）＝3π/4－２
面積は、積分１＋積分２＋積分３＝π＋（２－π/2）＋（3π/4－２）＝５π／４

でどうでしょうか？　
（積分記号が出せないので、積分の書き方がわかりにくくて申し訳ありません。）

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2012/01/23 18:58

No.4 回答者： ferien 回答日時： 2012/01/11 20:16

No.3です。

問題の意味を取り違えていたので、回答を取り下げます。
（質問者さんが混乱されては困るので。）
全部削除でお願いします。申し訳ありません。

No.3 回答者： ferien 回答日時： 2012/01/11 19:59

>r=3cosθと、r=1+cosθで囲まれる面積を教えて下さい。

積分の範囲が書かれていませんが、０≦θ≦π　とします。
3cosθ＝1+cosθとおくと、
2cosθ＝1
cosθ＝1/2より、
θ＝π/3
０≦θ≦π/3のとき、3cosθ≧1+cosθ　3cosθ－（1+cosθ）＝2cosθ－１
π/3≦θ≦πのとき、3cosθ≦1+cosθ　1+cosθ－3cosθ＝１－2cosθ

積分１（０≦θ≦π/3）（2cosθ－１）＝ルート３－π/3
積分２（π/3≦θ≦π）（１－2cosθ）＝ルート３＋2π/3
面積は、積分１＋積分２＝２ルート３＋π/3
（０≦θ≦２πのときは、今の結果を２倍すればいいです。）

何かあったらお願いします。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/01/11 19:24

#1です。

A#1について補足
A#1の添付図の縦横比が正しく表示されていませんので補足します。
r=3cosθの極座標グラフは中心(3/2,0),半径(3/2)の円です。
この円が円に見えるように、縦方向を拡大して見てください。

A#1の本文最後の行の「S3=」は消し忘れのゴミですので、削除願います。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2012/01/23 18:58

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/01/11 19:16

囲まれる面積と言っても添付図の黄色の領域の面積S1,

紫色の領域の面積S2,水色の領域の面積S3と緑の領域の面積S4
とすると
S1=2(S11-S12)
S11=∬[0≦θ≦π/3,0≦r≦3cosθ] rdrdθ
=∫[0,π/3] (9/2)cos^2θdθ
=(3/4)π+(9/16)√3
S12=∬[0≦θ≦π/3,0≦r≦1+cosθ] rdrdθ
=∫[0,π/3] (1/2)(1+cosθ)^2 dθ
=(π/4)+(9/16)√3
S1 =2(S11-S12)=π

S2=2[S12+{(1/6)π(3/2)^2-(1/2)(3/2)^2*sin(π/3)}]
=2[{(π/4)+(9/16)√3}+{(3/8)π-(9/16)√3}]
=5π/4

S3=S31-(1/2)S2=S31-(5π/8)
S31=∬[0≦θ≦π,0≦r≦1+cosθ] rdrdθ
=∫[0,π/2] (1/2)(1+cosθ)^2 dθ
=3π/2
S3=S4
=(3π/2)-(5π/8)
=7π/8
S3=