![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67)
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>何故0≦θ≦π/2となるのでしょうか?
立体がyz平面に対称だから
θで言えばyz平面がθ=π/2に対応しますので
0≦θ≦π/2の部分の体積積分
と
π/2≦θ≦πの部分の体積積分
が同じになりますから
それぞれが全体の体積Vの1/2です。
だから、
0≦θ≦π/2の部分の体積積分を計算して2倍すれば
全体の体積になります。
>はじめ自分は、0≦θ≦πで計算していたため一致しませんでした。
π/2≦θ≦πの部分の体積積分の計算が間違っているからでしょう。
> =2∫[o→π]{∫[o→asinθ]r√(a^2-r^2)dr}dθ
> r^2=tと置換して
> =∫[o→π]{∫[0→a^2sin^2θ]√(a^2-t)dt}dθ
この式で間違い↑
正しくは
=∫[0→π]{∫[0→a^2sin^2θ]{√(a^2-t)}(1/2)dt}dθ
> =2a^3/3∫[0→π](1-cos^3θ)dθ
この式でも間違い↑
=∫[0→π]{∫[0→a^2sin^2θ]{(a^2-t)^(1/2)}(1/2)dt}dθ
=∫[0→π]{[(-2/3)(a^2-t)^(3/2)][0→a^2sin^2θ]}(1/2)dθ
=∫[0→π]{(-1/3)[(a^2-t)^(3/2)][0→a^2sin^2θ]}dθ
=∫[0→π]{(1/3)[(a^3)-(a^3)(1-sin^2θ)^(3/2)]}dθ
=∫[0→π]{(1/3)(a^3)[1-(cos^2θ)^(3/2)]}dθ
=(1/3)(a^3)∫[0→π]{1-|cosθ|^3}dθ
ここでθが[0→π]の範囲でcosθが正から負に変化しますから
0≦θ≦π/2では|cosθ|=cosθ
π/2≦θ≦πでは|cosθ|=-cosθ
なので以降の式は
θで
0≦θ≦π/2の積分と
π/2≦θ≦πの積分を
分割して積分しないといけません。
立体の対称性から、前半の体積の2倍してもいいですし
π/2≦θ≦πの積分を
=(1/3)(a^3)∫[0→π]{1+(cosθ)^3}dθ
で積分すれば良いですね。
これを分割して積分しないため
(cosθ)^3の部分の積分が(奇関数なので)±打ち消してゼロになって
以降の積分がおかしくなります。
>cos^3θ=(1-sin^2θ)cosθとしてsinθ=pと置換して
> =-2a^3/3∫[0→π]cosθdθ+2a^3/3∫[0→0]p^2dp+
2a^3/3∫[0→π]1dθ ・・・*
No.1
- 回答日時:
貴方の最初のできなかった解答の計算過程を示してください。
また、回答書どうりにやったうまくいった計算過程も示してください。
この回答への補足
0≦θ≦πの場合
V=2∬[D]√(a^2-x^2-y^2)dxdy
=2∫[o→π]{∫[o→asinθ]r√(a^2-r^2)dr}dθ
r^2=tと置換して
=∫[o→π]{∫[0→a^2sin^2θ]√(a^2-t)dt}dθ
=2a^3/3∫[0→π](1-cos^3θ)dθ
cos^3θ=(1-sin^2θ)cosθとしてsinθ=pと置換して
=-2a^3/3∫[0→π]cosθdθ+2a^3/3∫[0→0]p^2dp+
2a^3/3∫[0→π]1dθ ・・・*
=2a^3π/3 答えと一致しない。
0≦θ≦π/2の場合
*について
-2a^3/3∫[0→π/2]cosθdθ+2a^3/3∫[0→1]p^2dp+
2a^3/3∫[0→π/2]1dθ
=(π/3-4/9)a^3 答えと一致します。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 積分の計算にてこづっています。2曲線の面積を求める問題なのですが [-1/2cos2x+cosx]上 4 2022/06/25 12:55
- 数学 修正して頂いた画像を使用させていただき改めて質問させて頂きます。 画像において、直接fとgのx軸の点 9 2022/08/23 19:17
- 化学 高校化学 浸透圧の範囲で質問があります。「浸透圧が同じなら移動する水の量は同じ」ですか? 「京大化学 4 2022/06/19 14:11
- 数学 「違います 質問11 n≦-2ではz≠π/2で g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1) 3 2022/07/16 18:12
- 物理学 tank内部に液と内壁の接触されている面積を求めることについて こいう計算式はどんな意味ですか? 単 3 2023/04/06 20:38
- 数学 複素関数で分からない問題があります。 ∫[0->π]1/(1+sin^2x)dx という積分を考える 5 2022/12/24 22:14
- 数学 広義積分 3 2022/12/07 12:29
- 数学 写真の(3)の問題の解説の1行目についてですが、 ①なぜ、曲線Kの囲む図形は、cos(-θ)と表せる 5 2023/01/26 00:36
- 数学 π/2<=x^2+y^2<=π,0<=x<=yのときsin((x^2+y^2)/2)の重積分の計算過 1 2023/01/10 11:09
- 数学 数学3の、定積分に関する質問です。 ∫上端e^2下端1{dx}/{x}という問題で、[log|x|] 1 2022/06/16 12:00
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
1/(sinx+cosx)の積分
-
∮ [0→1] arctanx dx の定積分を...
-
cosπ/2やcos0ってどのように求...
-
重積分の問題を教えてください。
-
極方程式
-
位相がよく分かりません。 cos(...
-
∫[0→∞] 1/(x^3+1)dx
-
複素数のn乗根が解けません
-
積分について
-
複素数の偏角
-
積分した値を教えてください
-
cosx<0(0≦x≦2π)の範囲を教えて...
-
cos π/8 の求め方
-
数学の証明問題です。
-
cos^4θの定積分
-
cos2X>3cosX-2 で、(2X-1)(X...
-
1/5+4cosxの0→2πまでの積分で、...
-
三角関数
-
数3の極限について教えてくださ...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
数3の極限について教えてくださ...
-
重積分について
-
cos π/8 の求め方
-
1/(sinx+cosx)の積分
-
y=cosx(0≦x≦π/2)のy軸周りの回...
-
cosπ/2やcos0ってどのように求...
-
cosx<0(0≦x≦2π)の範囲を教えて...
-
位相がよく分かりません。 cos(...
-
∫[0→∞] 1/(x^3+1)dx
-
1/5+4cosxの0→2πまでの積分で、...
-
複素数のn乗根が解けません
-
重積分の変数変換後の積分範囲...
-
arccos0の値ってなぜπ/2なんで...
-
この1/2はどこからでてきました...
-
逆三角関数の方程式の問題です...
-
複素数の偏角
-
数学の証明問題です。
-
∮ [0→1] arctanx dx の定積分を...
-
重積分の問題を教えてください。
おすすめ情報