以前ローラン展開において質問して回答をいただいたのですが、その回答について疑問がございます。 「i)

以前ローラン展開において質問して回答をいただいたのですが、その回答について疑問がございます。

「i)
の時には
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dzの式を
使っても
使わなくても
どちらでも
anが求められる
といっているのです

a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}
を使う
i)の時の
a(n)の
求め方は以下の通り

整数n≧0
自然数k
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}

m=n-kとすると
m≧-k
m+k=nだから

a(m)=(1/(m+k)!)lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){f(z)(z-c)^k}

mをnに置き換えると
n≧-k

a(n)=(1/(n+k)!)lim_{z→c}(d/dz)^(n+k){f(z)(z-c)^k}

θ=z
f(θ)=sinθ/cosθ
c=π/2
とすると
θ=π/2はf(θ)の1位の極だから
k=1
だから

a(n)=(1/(n+1)!)lim_{θ→π/2}(d/dθ)^(n+1){(θ-π/2)f(θ)}

(n≧-1)」
について、m=n-kと置いたはずなのに、なぜmをnに置き換えた際にm≧-kはn≧-kとなるのでしょうか？
というのもmをn-kと置いたため、m≧-kはn-k≧-kとなるのではないかと考えた為です。



また、画像の黄色の下線部より、
なぜ0<r<πかつn≦-2ではf(θ)=sinθ/cosθのanの式は0になるのでしょうか？
ちなみに、範囲0<r<πはどうやって作ったのでしょうか？

ちなみに、f(θ)=sinθ/cosθにおいてπ<rかつn≦-2あるいはn≧-1の時はanやローラン展開の式を持たない事を証明して頂けないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 一つ目の質問について
  「m=n-kとすると
  m≧-k
  m+k=n」の部分よりmはn-kでありnはm+kなのに、なぜmがnと置けたのか理由がわかりません。

    補足日時：2022/06/25 16:27

• また、
  
  整数n≧0
  自然数k
  m=n-kとすると
  m≧-k
  m+k=nだから
  
  において、
  m≧-k
  となる理由もわかりません。
  
  どうか教えて下さい。よろしくお願い致します。

    補足日時：2022/06/25 16:32

• 度々すいません。
  「ローラン展開
  f(θ)=sinθ/cosθ=-1/(θ-π/2)+…」
  において、-1/(θ-π/2)+…の部分はどうやって求めたのでしょうか？

    補足日時：2022/06/25 17:14

• 出来れば以下の質問にも答えて頂けると嬉しいです。
  
  
  
  整数n≧0
  自然数k
  m=n-kとすると
  m≧-k
  m+k=nだから
  
  において、
  m≧-k
  となる理由もわかりません。
  
  どうか教えて下さい。よろしくお願い致します。

    補足日時：2022/06/26 03:31

• mtrajcp様、解答ありがとうございます。
  
  過去の解答を読み返して別に疑問が湧いたのですが、なぜ|z-π/2|<πの時にg(z)は正則なのか、g(z)の式に具体的な値を代入して正則である事を説明して頂けないでしょうか？

  
    補足日時：2022/06/26 21:28

• もう一つあるのですが、n+2位のn+2はどこから出てきたのでしょうか？どうかわかりやすく教えて下さい。
  よろしくお願い致します

  
    補足日時：2022/06/26 22:11

• 最後に、画像のようにaの部分にあたる部分が0の場合は
  f(θ)
  =-1/(θ-π/2)+a(0)+a(1)(θ-π/2)+a(2)(θ-π/2)+…
  は画像の青い下線部の式になるのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/06/27 04:32

• ありがとうございます。
  
  なるほど、ではa=0を代入する前の画像の緑の下線部の式に|θ-π/2|<π
  でのa=π/2を代入すれば、(a=0の時はマクローリン展開になりますが、代入するaが0以外ならテイラー展開(ローラン展開のnが正の範囲での式)となるため)
  f(θ)=-1/(θ-π/2)+a(0)+a(1)(θ-π/2)+a(2)(θ-π/2)+…の式になるのでしょうか？
  
  今更で申し訳ないのですが、
  |θ-π/2|<πはどうやって作られたのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/06/27 11:41

• |θ-π/2|<πに関しては以前に他の式でローラン展開した際に、(ローラン展開は分母が0になるような特異点で展開される式なので)ローラン展開したい式の分母を参考に
  |z-1|<rを作ったため、半径rは角度で言うπであるため、今回ローラン展開したい式の分母はθ-π/2であるため、|θ-π/2|<πと作れたのだと推測しています。
  
  ちなみに、なぜπ<|θ-π/2|はないのでしょうか？
  また、なぜ0<|θ-π/2|<πはないのでしょうか？
  
  最後に特異点と極の違いを簡単に分かりやすく教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/06/27 12:12

• ありがとうございます。
  あの、画像の紫の下線部はθを含んでいますが、θの値はわかりませんが、その部分も発散するのでしょうか？
  あるいは、式f(θ)のtan aのみが発散するためf(θ)自体が∞になるわけでしょうか？
  違う場合はtan a以外の式がどのように発散するのか具体的な計算を教えて頂きたいです。
  
  また、仮にa=0の時、π/2<|θ|だった場合、
  f(θ)の式はどんな式になるのでしょうか？
  
  最後にtanθをテイラー展開を利用してローラン展開出来ないでしょうか？

  
    補足日時：2022/06/27 17:27

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/27 15:56

a=0を代入する前の画像の緑の下線部の式

f(θ)=tan(a)+…
に

a=π/2を代入すれば、

tan(a)=tan(π/2)=sin(π/2)/cos(π/2)=1/0=∞
だから

f(θ)=tan(π/2)+…=∞
に
発散します

|a|<π/2でなければ

緑の下線部の式

f(θ)=tan(a)+…
は
成立しません

訂正です
|θ-π/2|<π
ではなく
0<|θ-π/2|<π
です

f(θ)
=-1/(θ-π/2)+a(0)+a(1)(θ-π/2)+a(2)(θ-π/2)+…
は
θ=π/2=a
を中心とする
0<|θ-π/2|<π
でのローラン展開
です

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/27 15:45

a=0を代入する前の画像の緑の下線部の式

f(θ)=tan(a)+…
に

a=π/2を代入すれば、

tan(a)=tan(π/2)=sin(π/2)/cos(π/2)=1/0=∞
だから

f(θ)=tan(π/2)+…=∞
に
発散します

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/27 10:38

f(θ)

=-1/(θ-π/2)+a(0)+a(1)(θ-π/2)+a(2)(θ-π/2)+…
は
θ=π/2=a
を中心とする
|θ-π/2|<π
でのローラン展開
であって
a=π/2
なので
a=0にはなりません

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/27 10:28

lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^0

=lim_{z→π/2}tan(z)
=lim_{z→π/2}sin(z)/cos(z)

cos(π/2)=0だから分母が0になるから発散する

=sin(π/2)/cos(π/2)
=1/0
=∞
と発散する

lim_{x→0}(sinx)/x=1
だから
lim_{x→0}x/(sinx)=1
だから
x=z-π/2
とすると
lim_{z→π/2}(z-π/2)/sin(z-π/2)=1
だから

lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)
=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)
=lim_{z→π/2}(z-π/2)sin(z)/cos(z)
=lim_{z→π/2}sin(z)(z-π/2)/cos(z)
=lim_{z→π/2}sin(z)(z-π/2)/sin(π/2-z)
=lim_{z→π/2}-sin(z)(z-π/2)/sin(z-π/2)
=-1
と
収束する

lim_{z→π/2}{tan(z)(z-π/2)^(-n-1)}(z-π/2)^(n+2)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)(z-π/2)^(n+2)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1+n+2)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(n-n+2-1)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^1
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/27 03:42

n≧-1の時

lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)は発散するので
g(z)
は正則ではありません
--------------------------------------------------
lim_{z→π/2}{tan(z)(z-π/2)^(-n-1)}(z-π/2)^(n+1)=lim_{z→π/2}tan(z)は発散し
lim_{z→π/2}{tan(z)(z-π/2)^(-n-1)}(z-π/2)^(n+2)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)は収束するから
tan(z)(z-π/2)^(-n-1)はz=π/2でn+2位の極を持つ

この回答へのお礼

ありがとうございます。

lim_{z→π/2}{tan(z)(z-π/2)^(-n-1)}(z-π/2)^(n+2)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)はlim_{z→π/2}により、式の分母が小さくなり式が発散する事なく収束...すいません、わからない部分があります。

n≧-1の時、例えばlim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)はlim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(1-1)となりlim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^0となりますが、ここからどうやって発散するのでしょうか？
もちろん、g(z)の式は発散するため=∞になり、ローラン展開出来ないとはわかっています。

また、同じようにn=-1として
lim_{z→π/2}{tan(z)(z-π/2)^(-n-1)}(z-π/2)^(n+2)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)
よりlim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)にはnが無いですが、どうやって収束したのでしょうか？
また、lim_{z→π/2}{tan(z)(z-π/2)^(-n-1)}(z-π/2)^(n+2)からどのようにlim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)を導いたのでしょうか？とうか詳しい過程の計算を教えて下さい。
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/06/27 04:33

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/26 19:16

lim_{z→c}f(z)(z-c)^(k-1)が発散し

lim_{z→c}f(z)(z-c)^kが収束するとき
f(z)はz=cでk位の極を持つという

f(z)
がz=cでk位の極を持つ時
z=cでの展開は
f(z)=Σ_{n=-k～∞}a(n)(z-c)^n
a(n)=(1/(n+k)!)lim_{z→c}(d/dz)^(n+k){f(z)(z-c)^k}

f(θ)=sinθ/cosθ

lim_{θ→π/2}f(θ)
=lim_{θ→π/2}sinθ/cosθ=∞

lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)
=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sinθ/cosθ
=-1

だから
f(θ)=sinθ/cosθ
θ=π/2でk=1位の極を持つから

θ=π/2での展開は
a(n)=(1/(n+1)!)lim_{θ→π/2}(d/dz)^(n+1){f(θ)(θ-π/2)}
a(-1)=lim_{θ→π/2}f(θ)(θ-π/2)

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/26 15:39

f(x)

がx=cで位数kの極を持つ時
x=cでの展開は

f(x)=Σ_{m=0～∞}a(m-k)(x-c)^(m-k)
整数m≧0
a(m-k)=(1/m!)lim_{z→c}(d/dz)^m{f(z)(z-c)^k}

n=m-kとすると
m≧0だからm-k≧-kだから
n≧-k
n+k=mだから

f(x)=Σ_{n=-k～∞}a(n)(x-c)^n
a(n)=(1/(n+k)!)lim_{z→c}(d/dz)^(n+k){f(z)(z-c)^k}
となる
-----------------------------------------
f(θ)=sinθ/cosθ

lim_{θ→π/2}f(θ)
=lim_{θ→π/2}sinθ/cosθ=∞

lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)
=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sinθ/cosθ
=-1

だから
f(θ)=sinθ/cosθ
θ=π/2で1位の極を持つから

θ=π/2の周りでの展開は

f(θ)
=sinθ/cosθ
=Σ_{n=-1～∞}a(n)(θ-π/2)^n
=a(-1)/(θ-π/2)+a(0)+a(1)(θ-π/2)+a(2)(θ-π/2)+…

a(-1)
=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)
=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sinθ/cosθ
=-1
だから

f(θ)
=-1/(θ-π/2)+a(0)+a(1)(θ-π/2)+a(2)(θ-π/2)+…

この回答へのお礼

ありがとうございます。

あのすいません。

「a(-1)
=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)」
において、
a(n)=(1/(n+k)!)lim_{z→c}(d/dz)^(n+k){f(z)(z-c)^k}を使ったと思うのですが、
どうやってa(-1)から
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)を導いたのでしょうか？
kはどうやって消えたのでしょうか？
kの値がわかりません。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/06/26 17:18

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/26 15:23

a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}

のnと
a(n)=(1/(n+k)!)lim_{z→c}(d/dz)^(n+k){f(z)(z-c)^k}
のnは違うので
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}
のnをmに修正します
------------------------------------------------
f(x)
がx=cで位数kの極を持つ時
x=cでの展開は

f(x)=Σ_{m=0～∞}a(m-k)(x-c)^(m-k)
整数m≧0
a(m-k)=(1/m!)lim_{z→c}(d/dz)^m{f(z)(z-c)^k}

n=m-kとすると
n≧-k
n+k=mだから

f(x)=Σ_{n=-k～∞}a(n)(x-c)^n
a(n)=(1/(n+k)!)lim_{z→c}(d/dz)^(n+k){f(z)(z-c)^k}
となる

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/26 03:56

f(x)=Σ_{n=-k～∞}a(n)(x-c)^n

と
f(x)=Σ_{n=0～∞}a(n-k)(x-c)^(n-k)
は
同じ式なのだけれども

f(x)=Σ_{n=-k～∞}a(n)(x-c)^n
の
n
と

f(x)=Σ_{n=0～∞}a(n-k)(x-c)^(n-k)
の
n
は
全く違う
n
なのです

だから
f(x)=Σ_{n=0～∞}a(n-k)(x-c)^(n-k)
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}
の
n
と

f(x)=Σ_{n=-k～∞}a(n)(x-c)^n
a(n)=(1/(n+k)!)lim_{z→c}(d/dz)^(n+k){f(z)(z-c)^k}
の
n
は
全く違う
n
なのです

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/25 20:49

m=n-k

と置いたときの
n (n≧0)
と
mをnに置き換えた時の
n (n≧-k)
は
同じ変数を使ってはいるけれども
全く違う
n
なのです

a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}
の

n-k
を

n
に置き換えたのが

a(n)=(1/(n+k)!)lim_{z→c}(d/dz)^(n+k){f(z)(z-c)^k}
なのだから


a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}

の
n
と

a(n)=(1/(n+k)!)lim_{z→c}(d/dz)^(n+k){f(z)(z-c)^k}

の
n

が同じであるはずはないのです
全く違う
n
なのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
では、「ローラン展開
f(θ)=sinθ/cosθ=-1/(θ-π/2)+…」
において、-1/(θ-π/2)+…の部分はどうやって求めたのでしょうか？

お礼日時：2022/06/25 21:35