1-sinxの全体のルートの積分

タイトルの通りです。
積分区間は－πから２πです。
自分では置換してみたり、１＋sinxを分母分子にかけてみたりしましたが、分母がノットイコール０なので、積分区間を分けるときにわからなくなってしまいます。
解いてくださいお願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  積分区間はどうするんですか？
  そのように置換してしまうと区間が１から１までになって、よくわからなくなってしまうのですが。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/07/17 11:30

No.3 ベストアンサー 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/07/16 19:55

sin(x) = cos(π/2 - x) に着目して, u = π/2 - x として置換積分.

整理すると, 積分区間は [-3π/2, 3π/2] で, 被積分関数は偶関数.
半角の公式を使って, 場合分けせずに根号をはずせる.

この回答へのお礼

その方法はとてもスマートですね！
ありがとうございました！

お礼日時：2016/07/17 11:32

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/07/16 21:30

ANo1 続き、1-sinx=uで |cosx|=√(2-u)√(u) なので

∫√(1-sinx)dx = -∫√(u)/cosxdu=
-∫1/√(2-u)du (cosx>=0の区間)
∫1/√(2-u)du (cosx<0の区間)

解けそうな雰囲気です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！

お礼日時：2016/07/17 11:37

No.2 回答者： uyama33 回答日時： 2016/07/16 17:34

1.√(1+sinx) を分母、分子に掛けて見る

２．単なる√(1+sinx) を微分して見る
３．cosの符号に注意しながら積分範囲を調べる。
４．困るのは、x=-π/2　と　X＝(３π)/２
　　のときだが、関数を
　　(cosx)/√(1+sinx) x=-π/2　と　X＝(３π)/２ 以外の場所
　　√2　　　　　　　　　x=-π/2　と　X＝(３π)/２　のとき
　　と分けて考えて、連続関数を得るので積分可能
５．区間の区切り目は、
　　ーπ、-π/2、π/2、３π/2、２π

こんなところでいかがでしょうか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！

お礼日時：2016/07/17 11:35

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/07/16 15:34

u=1-sinx で √(2-u)√(u)=|cosx| を利用すると

上手くゆくかも。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！
その方法については少し疑問なんですが、積分区間はどうなってしまうんでしょうか？

お礼日時：2016/07/17 11:36