f（-πからπ）(|sinx|+1)sinnxdx この積分値を求めて欲しいです。

f（-πからπ）(|sinx|+1)sinnxdx
この積分値を求めて欲しいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/10 13:42

積分だよね？

∫[-π,π] (| sin x | + 1) sin(nx) dx
= ∫[-π,0] (| sin x | + 1) sin(nx) dx + ∫[0,π] (| sin x | + 1) sin(nx) dx
　↓ y = - x と置いて
= ∫[π,0] (| sin(-y) | + 1) sin(-ny) (-dy) + ∫[0,π] (| sin x | + 1) sin(nx) dx
= ∫[0,π] (| - sin y | + 1) (- sin(ny)) dy + ∫[0,π] (| sin x | + 1) sin(nx) dx
= (-1)∫[0,π] (| sin y | + 1) sin(ny) dy + ∫[0,π] (| sin x | + 1) sin(nx) dx
= 0.

被積分関数が 偶関数×奇関数 で 奇関数 だから、
x=0 について対称な区間で積分すれば、値は 0.

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/10 14:14

∫_{-π～π}(|sinx|+1)sin(nx)dx

=∫_{-π～0}(|sinx|+1)sin(nx)dx+∫_{0～π}(|sinx|+1)sin(nx)dx
=∫_{-π～0}(1-sinx)sin(nx)dx+∫_{0～π}(1+sinx)sin(nx)dx
=∫_{π～0}(1+sint)sin(-nt)(-dt)+∫_{0～π}(1+sinx)sin(nx)dx
=-∫_{0～π}(1+sint)sin(nt)dt+∫_{0～π}(1+sinx)sin(nx)dx
=-∫_{0～π}(1+sinx)sin(nx)dtx+∫_{0～π}(1+sinx)sin(nx)dx
=∫_{0～π}(1+sinx)sin(nx)dtx-∫_{0～π}(1+sinx)sin(nx)dx
=0

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/02/10 13:17

積分範囲を-π〜0と0〜πに分けると絶対値記号がいらなくなる。

以上。