特異点

円の場合 は留数が 1/z の係数になると、分かりますけど、任意の閉曲線での場合はどのような機構ですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2022/12/05 07:07

点aを囲む円C0を積分路とする1/(z-a)の一周積分は

　　∫_C0 1/(z-a)dz = 2πi

であるが、コーシーの積分定理を2重連結領域に応用することで、点aを囲む任意の単純閉曲線Cを積分路とする1/(z-a)の一周積分も

　　∫_C/(z-a)dz = 2πi

が成り立つ。任意の単純閉曲線なら何でもいいので、計算が簡単な円を使うのだ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/12/05 10:08

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/04 17:59

コーシーの積分定理 から、

円周での閉路積分と
任意の閉曲線での閉路積分は
一致するんだよ。(特異点が孤立してるならね。)

この回答へのお礼

ありがとうございます。はい、私はそれはわかりますけど、

1/z は半径rの円での積分は
dz = rie^iθ dθ
の変換でかかる、指数関数をキャンセルする働きがありますけど

任意の閉曲線ではどうして1/zが問題になりますか？

お礼日時：2022/12/04 18:13