質問が4つあります。 質問① 「i)0<r<2の場合 中心1半径rの円 lz-1l=r の内側 0<

質問が4つあります。

質問①
「i)0<r<2の場合
中心1半径rの円
lz-1l=r
の内側 0<Iz-1l<2
で
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
分母が0になる特異点は
n≧-1の時z=1」
との事ですが、
0<r<2でn≧-2の時の場合わけが書いていなかったのですが0<r<2でn≧-2の時の場合わけはなぜないのでしょうか？

質問②
「ii)r>2の場合、
中心1半径r>2の円
Iz-1l=r
の内側
Iz-1l<r>2
です
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
分母が0になる特異点は
n≧-1の時z=1,z=-1
と
n≦-2の時z=-1」
と教えて頂いたのですが、n≦-2の時、例えばn=-2とした場合
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の分母は1になるため、
分母は特異点を持たなくなると思うのですが、なぜn≦-2の時z=-1の特異点を持つと言えるのでしょうか？



最後に、
画像についても疑問が2つあります。

③
「z=0.001におけるf(z)の値と
z=0.001周りで展開するというのは全く違う意味です。」と言われたのですが、
z=0.001におけるf(z)も
z=0.001周りで展開するf(z)の式も元は同じf(z)の式であるため、
z=0.001におけるf(z)の値と
z=0.001周りで展開してz=0.001を代入して導いたf(z)の値は同じなのではないかと考えています。
もし、z=0.001におけるf(z)の値と
z=0.001周りで展開してz=0.001を代入して導いたf(z)の値が異なる場合はなぜ異なるのか教えて頂けないでしょうか。

④
z=0.001での話でありますが、
i)0<r<2の場合でn≧-1あるいはn≦-2
ii)2<rの場合でn≧-1あるいはn≦-2
のような場合わけはないのでしょうか？

仮に場合わけがない場合は
なぜ場合わけがないのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 他の質問に対して
  
  「0<|z-1|<2 となるような　z で
  f(z)=1/(z^2-1)
  は
  正則だといっているのです
  
  z=1では　条件0<|z-1|<2 を満たしていないから
  z=1では　
  f(z)=1/(z^2-1)
  は
  正則でないのです」...A
  
  と解答を頂きましたが、
  
  「
  lz-1l=r
  の内側 0<Iz-1l<2
  で
  」
  は誤りで
  「
  lz-1l=r
  の内側
  |z-1l<r<2
  で
  」
  が正しいという事しょうか？
  すなわち、Aの0<|z-1|<2は正しくは|z-1l<r<2なわけでしょうか？

    補足日時：2023/01/19 05:20

• あの、
  
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)
  でも
  f(z)=1/(z^2-1)
  でも
  
  内側は
  
  「
  lz-1l=r
  の内側 0<Iz-1l<2
  で
  」
  は誤りで、
  「
  lz-1l=r
  の内側
  |z-1l<r<2
  で
  」
  が正しいのでしょうか？

    補足日時：2023/01/21 04:25

• 補足で申し訳ありません。
  
  7,
  範囲としてのi)0<r<2の不等式と
  内側としての|z-1l<r<2の不等式は何が違うのでしょうか？
  
  f(z)=1/(z^2-1)のzの特異点を調べるために範囲を表している事はわかります。

    補足日時：2023/01/22 07:51

• 頂いた解答の6に関しては
  
  g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)に関するii)2<rの場合は過去に何度も教えて頂いたのでわかります。
  ですが
  f(z)=1/(z^2-1)に関してのii)2<rの場合は教えて頂いた事はありません。
  
  どうかf(z)=1/(z^2-1)に関してのii)2<rの場合を答えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2023/01/23 14:55

• どうもありがとうございます。
  
  「i)0<r<2の場合
  中心1半径rの円
  |z-1|=r
  の内側 |z-1l<r<2で
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の
  n≧-1の時、z=-1は特異点でないため、
  a(n)=0となる」...A
  
  画像のローラン展開はn≧-1やn≦-2などの場合わけはせずにローラン展開したのだと思いますが、
  
  仮に上に書いた
  Aの条件で画像のようにローラン展開した場合、
  a(n)=0であるため、ローラン展開の式は0になるのでしょうか？
  
  また、画像のローラン展開はn≧-1の時z=1(a(n)=-1/(-2)^(n+2))とn≦-2の時z=-1(a(n)=1/(-2)^(n+2))のどちらかの場合でのローラン展開なのでしょうか？

  
    補足日時：2023/01/25 08:44

• ありがとうございます。
  2023.1.17 10:33の質問の2023.1.24 22:36の補足に書かせて頂いた。
  
  「ii)r>2の場合
  中心1半径r>2の円
  |z-1|=r
  の内側
  |z-1|<r>2
  です
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
  の
  分母が0になる特異点は
  
  n≦-2の時z=-1(単純に分母が(z+1)のみになり、
  z=-1の時は|z-1|=rはr=2となりr>2の範囲を満たさない、かつ近似としてz→-1として
  |z-1|=2.001より|z-1| は内側r>2の範囲に含まれるのでz=-1は特異点であり、正則でないためz=-1の場合が入る。)
  となり、()の内容よりz=1は正則だとわかりました。」
  に関してはz=1は正側で正しいでしょうか？

    補足日時：2023/01/26 12:31

• ③に関する解答において質問がございます。
  なぜ|z-0.001|>rの場合はないのでしょうか？
  
  また、
  2023.1.23 19:33に頂いた解答の
  「|z-0.001|>rの場合は
  f(z)は正則でも正則でなくてもどちらでもよいけれども
  」
  について、質問があります。
  なぜ正則でも正則でなくても良いのでしょうか？
  
  最後に同じ時間帯19:33に頂いた解答の
  「|z-0.001|<r
  となるようなすべてのzに対して
  f(z)が正則となるような
  r>0
  が存在するとき
  f(0.001)の真の値
  f'(0.001),f"(0.001)…,のすべてがわかっているとき
  f(z)
  はz=0.001を中心とする
  |z-0.001|<r
  でテイラー展開できるのです」
  について、どうやって|z-0.001|<rと導いたのでしょうか？

    補足日時：2023/01/31 12:53

No.32 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/31 20:21

z=0.001におけるテイラー展開は

何の役にも立たないのでしてはいけません
z=0.001ではなくz=0=aとして
z=a におけるテイラー展開とします
|z-a|>r　でテイラー展開したければ
|z-a|>r とその内側のすべての z に対して
f(z)は正則でなければなりません
すなわち
|z-a|<∞　となるすべての　z　に対して
f(z)は正則であれば
|z-a|<∞でf(z)はテイラー展開できる

|z-a|≧r　で正則で
|z-a|<r で正則であれば
|z-a|<∞　となるすべての　z　に対して
f(z)は正則だから
|z-a|<∞でf(z)はテイラー展開できる

|z-a|≧r で正則でない場合は
|z-a|<r で正則であれば
|z-a|<r　となるすべての　z　に対して
f(z)は正則だから
|z-a|<r でf(z)はテイラー展開できる
けれどもrはそれ以上大きくなる事はできない

No.31 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/31 15:08

訂正です

ii)r>2の場合
中心1半径r>2の円
|z-1|=r
の内側
|z-1|<r>2
には
n≦-2のとき
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
特異点(極)
z=-1
があるから
n≦-2のとき
a(n)=Res(g(z),-1)
=limit_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)
=1/(-2)^(n+2)
となる

No.30 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/31 15:06

ii)r>2の場合

中心1半径r>2の円
|z-1|=r
の内側
|z-1|<r>2
には
n≦-2のとき
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
特異点(極)
z=-1
があるから
n≦-2のとき
a(n)=Res(g(z),-1)
=limit_{z→-1}(z+1)1/(z-1)^(n+2)
=1/(-2)^(n+2)
となる

No.29 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/27 19:56

訂正です

f(z)=1/(z+1)のz=1を中心とするテイラー展開で

f(1)=1/2=0.5 は真の値であって　近似値ではありません

f(z)
=1/(z+1)
=Σ[n=0,∞](-1)^n(z-1)^n/2^(n+1)
=(1/2)-(z-1)/4+(z-1)^2/8-…

だから
1次までの近似式は

(1/2)-(z-1)/4

だから

z=1.001 のときの1次の近似値は

(1/2)-(z-1)/4
=(1/2)-(1.001-1)/4
=0.5-0.001/4
=0.5-0.00025
=0.49975

となります

f(1.001)=1/(2.001)=0.4997501249375312…

だから

小数第6位まで一致していて良い近似です

この回答へのお礼

ありがとうございます。

2023.1.17 10:33の質問の2023.1.24 22:36の補足に書かせて頂いた。

「ii)r>2の場合
中心1半径r>2の円
|z-1|=r
の内側
|z-1|<r>2
です
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
分母が0になる特異点は

n≦-2の時z=-1(単純に分母が(z+1)のみになり、
z=-1の時は|z-1|=rはr=2となりr>2の範囲を満たさない、かつ近似としてz→-1として
|z-1|=2.001より|z-1| は内側r>2の範囲に含まれるのでz=-1は特異点であり、正則でないためz=-1の場合が入る。)
となり、()の内容よりz=1は正則だとわかりました。」
に関してはz=1は正側だとわかりました。

と言うことは、

ii)r>2の場合
中心1半径r>2の円
|z-1|=r
の内側
|z-1|<r>2
の時はa(n)=0となるためローラン展開は存在しないと言う事でしょうか？

お礼日時：2023/01/31 10:07

No.28 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/27 19:54

f(z)=1/(z+1)のz=1を中心とするテイラー展開で

f(1)=1/2=0.5 は真の値であって　近似値ではありません

f(z)
=1/(z+1)
=Σ[n=0,∞](-1)^n(z-1)^n/2^(n+1)
=(1/2)-(z-1)/4+(z-1)^2/8-…

だから
1次までの近似式は

(1/2)-(z-1)/4

だから

z=1.001 のときの1次の近似値は

(1/2)-(z-1)/4
=(1/2)-(1.001-1)/4
=0.5-0.001/4
=0.5-0.00025
=49975

となります

f(1.001)=1/(2.001)=0.4997501249375312…

だから

小数第6位まで一致していて良い近似です

No.27 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/27 05:58

f(0.001)の近似値を求めるのではありません

f(0.001)は真の値でなければなりません
f(0.001)は真の値で有限小数でなければなりません

コンピュータ上では有限小数しか扱えないので
f(0.001)は真の値で有限小数でなければ

z=0.001の周りの近似計算が正確にできないのです

z=0.001におけるテイラー展開は近似計算には使えません

f(z)=1/(z+1)
のとき
z=0.001におけるf(z)の真の値は

f(0.001)
=1/(0.001+1)
=0.999000999000999…

と
無限循環小数になるのです
だから

途中で打ち切って
f(0.001) を近似値にしてはいけないのです

だけれども
コンピュータ上では有限小数しか扱えないので
途中で打ち切って
f(0.001) を近似値にしかできないのです

f(0.001)が近似値ならば
z=0.001の周りの近似は近似の近似で誤差が重なるため
近似計算ができないので

z=0.001におけるテイラー展開は近似計算には使えません

だから

z=0.001におけるテイラー展開は
何の役にも立たないので
してはいけません

この回答へのお礼

ありがとうございます。

あの、f(z)=1/(z+1)のz=1の時のテイラー展開の式に関しては

f(z)=1/(z+1)
=1/2(1+(z-1)/2)
=Σ[n=0,∞](-1)^n(z-1)^n/2^(n+1)
但し|z-1|<2
の様にテイラー展開を数列の和の公式で表す事ができますが、
n=0の時かつz=1の時
Σ[n=0,∞](-1)^n(z-1)^n/2^(n+1)は=(-1)^0×(1-1)^0/2^(0+1)
=1/2...(D)
となりますが、それ以外の、例えば
n=1の時かつz=1の時、Σ[n=0,∞](-1)^n(2-1)^n/2^(n+1)は=(-1)x(1-1)/2^(1+1)
=0
とnの指数が0以外の時はnの値に関係なく、z=1により∞になりますが、
f(z)=1/(z+1)のz=1の時のテイラー展開の式から
はn=0の時かつz=1の時しか、
(D)のように近似値が求まらないのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2023/01/27 14:05

No.26 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/26 15:55

整数nと複素数zに対して

g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
とすると

n≦-2の時

g(z)=(z-1)^(-n-2)/(z+1)
0≦-n-2
だから

0=-n-2 の時
g(z)=1/(z+1)
g(1)=1/2
だから
g(z)はz=1で正則

0<-n-2 の時
g(z)=(z-1)^(-n-2)/(z+1)
g(1)=0
だから
g(z)はz=1で正則

No.25 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/26 15:52

ii)

r>2の場合
中心1半径r>2の円
|z-1|=r
の内側
|z-1|<r>2
で
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
とすると

n≦-2の時

g(z)=(z-1)^(-n-2)/(z+1)
0≦-n-2
だから

0=-n-2 の時
g(z)=1/(z+1)
g(1)=1/2
だから
g(z)はz=1で正則

0<-n-2 の時
g(z)=(z-1)^(-n-2)/(z+1)
g(1)=0
だから
g(z)はz=1で正則

No.24 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/26 15:40

f(z)=1/(z+1)

のとき
z=0.001におけるf(z)の真の値は

f(0.001)
=1/(0.001+1)
=0.999000999000999…

と
無限循環小数になるのです

展開の中心の値が無限循環小数になるような展開は通常はしません

中心の値はできるだけ有限小数で
その近傍の値を近似するのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

えと、
③のようにtan(z)のテイラー展開では、 f(0.001)での値がわからなければ

f(z)=f(0.001)+(z-0.001)f'(0.001)+f"(0.001)(z-0.001)^2/2+… と近似式が導けても近似値が導けないとはわかるのですが、

f(z)=1/(z+1)についてはtan(0.001)の値を求める時とは違って(C)のように手計算でf(0.001)の真の値が導けるため、
f(z)=f(0.001)+(z-0.001)f'(0.001)+f"(0.001)(z-0.001)^2/2+…
のf(z)のzに0.001を代入して、f(0.001)の近似値を求められるため、
f(z)=1/(z+1)
のときは
z=0.001におけるテイラー展開ができるという事でしょうか？



また、
f(z)=1/(z+1)のz=1の時のテイラー展開の式は

f(z)=1/(z+1)
=1/2(1+(z-1)/2)
=Σ[n=0,∞](-1)^n(z-1)^n/2^(n+1)
但し |z-1|<2

の様にテイラー展開を数列の和の公式で表す事ができますが、

n=0の時かつz=1の時
Σ[n=0,∞](-1)^n(z-1)^n/2^(n+1)は
=(-1)^0×(1-1)^0/2^(0+1)
=1/2...(D)
となりますが、それ以外の、例えば

n=1の時かつz=1の時、
Σ[n=0,∞](-1)^n(z-1)^n/2^(n+1)は
=(-1)×(1-1)/2^(1+1)
=∞
とnの指数が0以外の時はnの値に関係なく、
z=1により∞になりますが、

f(z)=1/(z+1)のz=1の時のテイラー展開の式からはn=0の時かつz=1の時しか、
(D)のように近似値が求まらないのでしょうか？

お礼日時：2023/01/26 21:39

No.23 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/26 03:56

「z=-1は特異点でない」というのは間違いです

z=-1は常に特異点です

g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
は
z=-1のとき
g(-1)=1/0=∞
だから
z=-1は特異点なのです
だけれども
0<r<2の場合
中心1半径rの円
|z-1|=r
の内側 |z-1l<r
には
特異点z=-1は無いというだけの事です

「z=-1は特異点でない」というのは間違いです
z=-1は常に特異点です

この回答へのお礼

ありがとうございます。
「③
z=0.001におけるf(z)の真の値がわからなければ
f(z)をz=0.001周りでテイラー展開できません

f(z)をz=0.001周りでテイラー展開は

f(z)=f(0.001)+(z-0.001)f'(0.001)+f"(0.001)(z-0.001)^2/2+…

なのだから

z=0.001における
f(z)の真の値
f(0.001)
がわからなければ

f(z)=f(0.001)+(z-0.001)f'(0.001)+f"(0.001)(z-0.001)^2/2+…

と展開できないといっているのです」

については、
z=0.001におけるf(z)の真の値は
f(0.001)=1/(0.001+1)より、
=0.9990...(C)と手計算で導けたのですが、


仮にtanθのテイラー展開では、tan(0.001)の値は電卓を使わないとわからないし、手計算出来ないし、電卓を使ってる時点でテイラー展開の役目はないため、「」の式内のtan(0.001)の値がわかっていないとtan(0.001)のテイラー展開の値が導けないとわかりました。

ですが、③に関しては、z=0.001におけるf(z)の真の値は「」の式内のtan(0.001)の値を求める時とは違って(C)のように手計算で導けるため、(手計算できる時点でテイラー展開する必要はないですが)
f(z)=f(0.001)+(z-0.001)f'(0.001)+f"(0.001)(z-0.001)^2/2+…
のzに0.001を代入して、f(0.001)の近似値を求められると思ったのですが、間違っていますでしょうか？

お礼日時：2023/01/26 12:30