質問が4つあります。 質問① 「i)0<r<2の場合 中心1半径rの円 lz-1l=r の内側 0<

質問が4つあります。

質問①
「i)0<r<2の場合
中心1半径rの円
lz-1l=r
の内側 0<Iz-1l<2
で
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
分母が0になる特異点は
n≧-1の時z=1」
との事ですが、
0<r<2でn≧-2の時の場合わけが書いていなかったのですが0<r<2でn≧-2の時の場合わけはなぜないのでしょうか？

質問②
「ii)r>2の場合、
中心1半径r>2の円
Iz-1l=r
の内側
Iz-1l<r>2
です
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
分母が0になる特異点は
n≧-1の時z=1,z=-1
と
n≦-2の時z=-1」
と教えて頂いたのですが、n≦-2の時、例えばn=-2とした場合
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の分母は1になるため、
分母は特異点を持たなくなると思うのですが、なぜn≦-2の時z=-1の特異点を持つと言えるのでしょうか？



最後に、
画像についても疑問が2つあります。

③
「z=0.001におけるf(z)の値と
z=0.001周りで展開するというのは全く違う意味です。」と言われたのですが、
z=0.001におけるf(z)も
z=0.001周りで展開するf(z)の式も元は同じf(z)の式であるため、
z=0.001におけるf(z)の値と
z=0.001周りで展開してz=0.001を代入して導いたf(z)の値は同じなのではないかと考えています。
もし、z=0.001におけるf(z)の値と
z=0.001周りで展開してz=0.001を代入して導いたf(z)の値が異なる場合はなぜ異なるのか教えて頂けないでしょうか。

④
z=0.001での話でありますが、
i)0<r<2の場合でn≧-1あるいはn≦-2
ii)2<rの場合でn≧-1あるいはn≦-2
のような場合わけはないのでしょうか？

仮に場合わけがない場合は
なぜ場合わけがないのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 他の質問に対して
  
  「0<|z-1|<2 となるような　z で
  f(z)=1/(z^2-1)
  は
  正則だといっているのです
  
  z=1では　条件0<|z-1|<2 を満たしていないから
  z=1では　
  f(z)=1/(z^2-1)
  は
  正則でないのです」...A
  
  と解答を頂きましたが、
  
  「
  lz-1l=r
  の内側 0<Iz-1l<2
  で
  」
  は誤りで
  「
  lz-1l=r
  の内側
  |z-1l<r<2
  で
  」
  が正しいという事しょうか？
  すなわち、Aの0<|z-1|<2は正しくは|z-1l<r<2なわけでしょうか？

    補足日時：2023/01/19 05:20

• あの、
  
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)
  でも
  f(z)=1/(z^2-1)
  でも
  
  内側は
  
  「
  lz-1l=r
  の内側 0<Iz-1l<2
  で
  」
  は誤りで、
  「
  lz-1l=r
  の内側
  |z-1l<r<2
  で
  」
  が正しいのでしょうか？

    補足日時：2023/01/21 04:25

• 補足で申し訳ありません。
  
  7,
  範囲としてのi)0<r<2の不等式と
  内側としての|z-1l<r<2の不等式は何が違うのでしょうか？
  
  f(z)=1/(z^2-1)のzの特異点を調べるために範囲を表している事はわかります。

    補足日時：2023/01/22 07:51

• 頂いた解答の6に関しては
  
  g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)に関するii)2<rの場合は過去に何度も教えて頂いたのでわかります。
  ですが
  f(z)=1/(z^2-1)に関してのii)2<rの場合は教えて頂いた事はありません。
  
  どうかf(z)=1/(z^2-1)に関してのii)2<rの場合を答えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2023/01/23 14:55

• どうもありがとうございます。
  
  「i)0<r<2の場合
  中心1半径rの円
  |z-1|=r
  の内側 |z-1l<r<2で
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の
  n≧-1の時、z=-1は特異点でないため、
  a(n)=0となる」...A
  
  画像のローラン展開はn≧-1やn≦-2などの場合わけはせずにローラン展開したのだと思いますが、
  
  仮に上に書いた
  Aの条件で画像のようにローラン展開した場合、
  a(n)=0であるため、ローラン展開の式は0になるのでしょうか？
  
  また、画像のローラン展開はn≧-1の時z=1(a(n)=-1/(-2)^(n+2))とn≦-2の時z=-1(a(n)=1/(-2)^(n+2))のどちらかの場合でのローラン展開なのでしょうか？

  
    補足日時：2023/01/25 08:44

• ありがとうございます。
  2023.1.17 10:33の質問の2023.1.24 22:36の補足に書かせて頂いた。
  
  「ii)r>2の場合
  中心1半径r>2の円
  |z-1|=r
  の内側
  |z-1|<r>2
  です
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
  の
  分母が0になる特異点は
  
  n≦-2の時z=-1(単純に分母が(z+1)のみになり、
  z=-1の時は|z-1|=rはr=2となりr>2の範囲を満たさない、かつ近似としてz→-1として
  |z-1|=2.001より|z-1| は内側r>2の範囲に含まれるのでz=-1は特異点であり、正則でないためz=-1の場合が入る。)
  となり、()の内容よりz=1は正則だとわかりました。」
  に関してはz=1は正側で正しいでしょうか？

    補足日時：2023/01/26 12:31

• ③に関する解答において質問がございます。
  なぜ|z-0.001|>rの場合はないのでしょうか？
  
  また、
  2023.1.23 19:33に頂いた解答の
  「|z-0.001|>rの場合は
  f(z)は正則でも正則でなくてもどちらでもよいけれども
  」
  について、質問があります。
  なぜ正則でも正則でなくても良いのでしょうか？
  
  最後に同じ時間帯19:33に頂いた解答の
  「|z-0.001|<r
  となるようなすべてのzに対して
  f(z)が正則となるような
  r>0
  が存在するとき
  f(0.001)の真の値
  f'(0.001),f"(0.001)…,のすべてがわかっているとき
  f(z)
  はz=0.001を中心とする
  |z-0.001|<r
  でテイラー展開できるのです」
  について、どうやって|z-0.001|<rと導いたのでしょうか？

    補足日時：2023/01/31 12:53

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/22 11:26

6

f(z)=1/(z^2-1)については2<rの場合については

i)0<r<2の場合ではなくii)2<rの場合です

ii)
r>2
f(z)=1/(z^2-1)
の
|z-1|=r>2での
z=1を中心とするローラン展開は

f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n

a(n)=∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
C={z||z-1|=r}

…
の場合で
過去に何度も書いたので省略します

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/22 11:20

5

|z-1|=r
というのは

0<r<2
となる
r
に対して
|z-1|=r
となるzの集合という意味なのです

|z-1|<r
というのは
0<r<2
となる
r
に対して
|z-1|<r
となるzの集合という意味なのです

|z-1|=r
となるzと

|z-1|<rとなるzは違うのです

rに対してzがきまるのであって
zに対してrがきまるのではありません
だから
i)0<r<2のrは|z-1|=rではないという言い方はおかしいのです

|z-1|<r の　z　は　|z-1|=r の z　ではないというべき

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/22 11:05

4.

f(z)=1/(z^2-1)
の
0<|z-1|=r<2での
z=1を中心とするローラン展開は

f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n

a(n)=∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
C={z||z-1|=r}

としたのならば
f(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
として同じ
f(z)
同じ
n
を使ってはいけません

i)0<r<2の場合
中心1半径rの円
|z-1|=r
の内側 |z-1l<r<2
であり、
0<r<2での積分経路は
C={z||z-1|=r}

という書き方はおかしいのです

i)0<r<2の場合
0<r<2での積分経路は
中心1半径rの円
|z-1|=r
C={z||z-1|=r}
であり

その内側 |z-1l<r<2
の
f(z)の
特異点が
あるかどうかによって

f(z)の
Cでの積分値が決まるのだから

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/22 10:50

3.

留数定理から
C={z||z-1|=r}での積分の値は
Cの内側
D={z||z-1|<r}
に
特異点があるかどうかによって決まるのです
だから

C={z||z-1|=r}での積分の値を求めるために

Cの内側
D={z||z-1|<r}
に
特異点があるかどうか調べ留数を求めるために

D={z||z-1|<r}
を
使っているのであって
決してDで積分しているわけではないので
場合分けとは言わない

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/22 10:43

2.

f(z)=1/(z^2-1)
は
z=1で定義できないから正則でないから
1∈{z||z-1|<r}で積分不可能

f(z)=1/(z^2-1)
は
z=-1で定義できないから正則でないから
-1∈{z||z-1|>r}で積分不可能

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/22 10:38

f(z)=1/(z^2-1)

の
0<|z-1|=r<2での
z=1を中心とするローラン展開は

f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n

a(n)=∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
C={z||z-1|=r}

で定義されるからローラン展開の定義から

f(z)=1/(z^2-1)に関して0<r<2での積分経路は
C={z||z-1|=r}
なのです

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/22 04:58

f(z)=1/(z^2-1)に関して0<r<2での積分経路は

C={z||z-1|=r}
なのです
だから
{z||z-1|<r}と{z||z-1|>r}のどちらの場合も積分不可能なので
どちらの場合も、場合分けはありません

留数定理から
C={z||z-1|=r}での積分の値は
Cの内側
D={z||z-1|<r}
に
特異点があるかどうかによって決まるのです
だから

Cの外側
{z||z-1|>r}
には関係ありません

この回答へのお礼

ありがとうございます。
疑問点が複数ございます。

1,
f(z)=1/(z^2-1)に関して0<r<2での積分経路は
なぜC={z||z-1|=r}なのでしょうか？

2,
なぜ{z||z-1|<r}と{z||z-1|>r}のどちらの場合も積分不可能なのでしょうか？


3,
「{z||z-1|<r}と{z||z-1|>r}のどちらの場合も積分不可能なので
どちらの場合も、場合分けはありません」
との事ですが、
2023.1.19 13:59に頂いた解答
「0<r<2
中心1半径rの円
半径rに対して
lz-1l=r
となるような全ての　z　の集合
の内側
は
0<r<2となる
半径rに対して
lz-1l<r
となるような全ての　z　の集合
D={z|z-1|<r}で
1はDの要素だから
z=1∈Dでは　条件0<|z-1|<2 を満たしていないから
z=1では　
f(z)=1/(z^2-1)
は
正則でないから
z∈Dでは
f(z)=1/(z^2-1)
は
正則でないのです」

にはD={z|z-1|<r}が入っていますが、
これはなぜ{z||z-1|<r}の場合わけとは言わないのでしょうか？


4,
今回はf(z)=1/(z^2-1)についての解答を頂きましたが、2023.1.21 04:25に書いた質問者からの補足としてf(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の場合は

i)0<r<2の場合
中心1半径rの円
|z-1|=r
の内側 |z-1l<r<2
であり、
0<r<2での積分経路は
C={z||z-1|=r}
で正しいでしょうか？

なぜ内側が|z-1|<r、|z-1|<r<2と置いたかは図を添付した解答より理解出来ました。

5,
範囲としてのi)0<r<2のrについては
2023.1.20 04:00より0<r<2に|z-1|=rを代入すると矛盾が生じるため、
i)0<r<2のrは|z-1|=rではないと理解しています。
ただ、だとしたら、i)0<r<2のrは何を表すrなのでしょうか？

6,
f(z)=1/(z^2-1)については2<rの場合はないのでしょうか？
仮にない場合は何故ないのか教えて下さい。

お礼日時：2023/01/22 07:44

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/21 11:13

青線の円周線が

中心1半径rの円
|z-1|=r
で
半径rに対する|z-1|=rとなるようなzの集合です

青線の
中心1半径rの円
lz-1l=r
の内側
は
黄色の部分と赤点(z=1)を含む
|z-1|<r
で
半径rに対する|z-1|<rとなるようなzの集合です
だから|z-1|<rは(赤点の)z=1を含むのです


赤点(z=1)を除く緑と青と黄色を合わせた部分が
0<|z-1|<2
で
0<|z-1|<2となるようなzの集合です
だから0<|z-1|<2は(赤点の)z=1を含まないのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

ちなみになぜ、f(z)=1/(z^2-1)に関して0<r<2で{z||z-1|>r}の時の場合わけがないのでしょうか？


また、できれば
f(z)=1/(z^2-1)に関して2<rの場合わけを教え頂けないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2023/01/22 03:32

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/20 04:00

中心1半径rの円

lz-1l=r
の内側には
中心z=1が含まれているのです
中心z=1が含まれなければなりません

0<|z-1|<2
となるzには
中心z=1が含まれていないのです

0<|z-1|<2
に
z=1が含まれていると仮定すると
z=1のとき|z-1|=0<|z-1|
|z-1|<|z-1|
となって|z-1|=|z-1|に矛盾するから

0<|z-1|<2
は間違いです

中心1半径rの円
lz-1l=r
の内側
は
|z-1|<r
でなければなりません

z=1の時|z-1|=0<r　だから
z=1は|z-1|<r に含まれる

この回答へのお礼

ありがとうございます。
どうか画像について、③,④に答えて頂けると大変ありがたいです。

お礼日時：2023/01/20 11:29

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/19 13:59

0<|z-1|<2 となるような　z で

f(z)=1/(z^2-1)
は
正則だといっているのです
だから

0<r<2
となるrに対して
lz-1l=r
となるような全ての　z　の集合
C={z|z-1|=r}
の要素
z∈C では
条件0<|z-1|<2を満たしているから
z∈C={z|z-1|=r} では
f(z)=1/(z^2-1)
は
正則だといっているのです

0<r<2
中心1半径rの円
半径rに対して
lz-1l=r
となるような全ての　z　の集合
の内側
は
0<r<2となる
半径rに対して
lz-1l<r
となるような全ての　z　の集合
D={z|z-1|<r}で
1はDの要素だから
z=1∈Dでは　条件0<|z-1|<2 を満たしていないから
z=1では　
f(z)=1/(z^2-1)
は
正則でないから
z∈Dでは
f(z)=1/(z^2-1)
は
正則でないのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

すいません。
質問①のi)について、

なぜ
「
lz-1l=r
の内側 0<Iz-1l<2
で
」
の内側0<Iz-1l<2は
正しくは
「
lz-1l=r
の内側
|z-1l<r<2
で
」
のように内側|z-1l<r<2となるのでしょうか？

お礼日時：2023/01/20 03:14